ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 976 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(2-4x+3>0;\)

2) \(2-6x-40\leq0;\)

3) \(x^2+x+12>0;\)

4) \(2-x+1<0;\)

5) \(-3x^2+2x+1>0;\)

6) \(x-x^2<0;\)

7) \(x^2+25x\geq0;\)

8) \(0{,}1x^2-2\leq0.\)

1) \(x^{2}-4x+3>0\)
\(D=16-12=4\)
\(x_{1}=\frac{4-2}{2}=1\), \(x_{2}=\frac{4+2}{2}=3\)
\((x-1)(x-3)>0\)
\(x<1\), \(x>3\)
\((-\infty; 1)\cup(3; +\infty)\)

2) \(x^{2}-6x-40\leq0\)
\(D=36+160=196\)
\(x_{1}=\frac{6-14}{2}=-4\), \(x_{2}=\frac{6+14}{2}=10\)
\((x+4)(x-10)\leq0\)
\(-4\leq x\leq10\)
\([-4; 10]\)

3) \(x^{2}+x+1\geq0\)
\(D=1-4= -3\)
\(x\in \mathbb{R}\)
\((-\infty; +\infty)\)

4)\(x^{2}-x+1<0\)
\(D=1-4= -3\)
\(x\in \emptyset\)
решений нет

5) \(-3x^{2}+2x+1>0\)
\(D=4+12=16\)
\(x_{1}=\frac{2-4}{2\cdot3}=-\frac{1}{3}\), \(x_{2}=\frac{2+4}{2\cdot3}=1\)
\((x+\frac{1}{3})(x-1)<0\)
\(-\frac{1}{3}<x<1\)
\((-\frac{1}{3}; 1)\)

6) \(x-x^{2}<0\)
\(x(x-1)>0\)
\(x<0\), \(x>1\)
\((-\infty; 0)\cup(1; +\infty)\)

7) \(x^{2}+25x\geq0\)
\(x(x+25)\geq0\)
\(x\leq-25\), \(x\geq0\)
\((-\infty; -25]\cup[0; +\infty)\)

8) \(0{,}1x^{2}-2\leq0\)
\(x^{2}-20\leq0\)
\(-2\sqrt{5}\leq x\leq2\sqrt{5}\)
\([ -2\sqrt{5}; 2\sqrt{5} ]\)

1. Решим неравенство \(x^{2}-4x+3>0\).
Выпишем квадратное уравнение: \(x^{2}-4x+3=0\).
Найдём дискриминант: \(D= (-4)^{2}-4\cdot1\cdot3=16-12=4\).
Корни: \(x_{1}=\frac{4-2}{2}=1\), \(x_{2}=\frac{4+2}{2}=3\).
Коэффициент при \(x^{2}\) положительный, значит ветви вверх, знаки «+–+».
Неравенство выполняется вне корней: \(x<1\) и \(x>3\).
Ответ: \((-\infty; 1)\cup(3; +\infty)\)

2. Решим неравенство \(x^{2}-6x-40\leq0\).
Выпишем квадратное уравнение: \(x^{2}-6x-40=0\).
Найдём дискриминант: \(D= (-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-40)=36+160=196\).
Корни: \(x_{1}=\frac{6-14}{2}=-4\), \(x_{2}=\frac{6+14}{2}=10\).
Ветви вверх, знаки «+–+».
Неравенство выполняется между корнями: \(-4\leq x\leq10\).
Ответ: \([-4; 10]\)

3. Решим неравенство \(x^{2}+x+1\geq0\).
Дискриминант: \(D=1-4= -3\).
Корней нет, ветви вверх, выражение всегда положительно.
Ответ: \((-\infty; +\infty)\)

4. Решим неравенство \(x^{2}-x+1<0\).
Дискриминант: \(D=1-4= -3\).
Корней нет, ветви вверх, выражение всегда положительно.
Ответ: \(x\in \emptyset\)

5. Решим неравенство \(-3x^{2}+2x+1>0\).
Переносим всё в одну сторону: \(3x^{2}-2x-1<0\).
Дискриминант: \(D=(-2)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16\).
Корни: \(x_{1}=\frac{2-4}{2\cdot3}=-\frac{1}{3}\), \(x_{2}=\frac{2+4}{2\cdot3}=1\).
Ветви вверх, неравенство «<0» выполняется между корнями: \(-\frac{1}{3}<x<1\).
Ответ: \((-\frac{1}{3}; 1)\)

6. Решим неравенство \(x-x^{2}<0\).
Перепишем: \(x(1-x)<0\).
Нули: \(x=0\) и \(x=1\).
Рассмотрим промежутки: при \(x<0\) и \(x>1\) выражение отрицательно.
Ответ: \((-\infty; 0)\cup(1; +\infty)\)

7. Решим неравенство \(x^{2}+25x\geq0\).
Вынесем \(x\): \(x(x+25)\geq0\).
Нули: \(x=0\), \(x=-25\).
Произведение неотрицательно при \(x\leq-25\) и \(x\geq0\).
Ответ: \((-\infty; -25]\cup[0; +\infty)\)

8. Решим неравенство \(0{,}1x^{2}-2\leq0\).
Переносим: \(0{,}1x^{2}\leq2\).
Делим обе части на \(0{,}1\): \(x^{2}\leq20\).
Корни: \(x=\pm2\sqrt{5}\).
Ответ: \([ -2\sqrt{5}; 2\sqrt{5} ]\)