ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 977 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

1) \(2+3x+6<0;\)

2) \(-4x^2+3x+12>0.\)

1) Решим неравенство \( \frac{1}{3}x^2 + 3x + 6 < 0 \). Умножим на 3: \( x^2 + 9x + 18 < 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 — 72 = 9 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-9 — 3}{2} = -6 \), \( x_2 = \frac{-9 + 3}{2} = -3 \).

Неравенство выполняется при \( -6 < x < -3 \).

Целые решения: \( -5, -4 \).

2) Решим неравенство \( -4x^2 + 3x + 1 \geq 0 \). Умножим на \(-1\) и изменим знак: \( 4x^2 — 3x — 1 \leq 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \).

Корни: \( x_1 = \frac{3 — 5}{8} = -\frac{1}{4} \), \( x_2 = \frac{3 + 5}{8} = 1 \).

Неравенство выполняется при \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \).

Целые решения: \( 0, 1 \).

Для первого неравенства \( \frac{1}{3}x^{2} + 3x + 6 < 0 \) сначала избавимся от дроби, умножив обе части на 3, так как 3 положительно и знак неравенства не изменится. Получаем \( x^{2} + 9x + 18 < 0 \). Это квадратное неравенство, для решения которого нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения \( x^{2} + 9x + 18 = 0 \).

Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = 18 \). Подставляем: \( D = 9^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 — 72 = 9 \). Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-9 — 3}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \), второй корень: \( x_2 = \frac{-9 + 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).

Так как коэффициент при \( x^{2} \) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство \( x^{2} + 9x + 18 < 0 \) выполняется между корнями, то есть при \( -6 < x < -3 \). Среди целых чисел в этом промежутке находятся \( -5 \) и \( -4 \). Следовательно, целые решения первого неравенства: \( -5 \) и \( -4 \).

Для второго неравенства \( -4x^{2} + 3x + 1 \geq 0 \) сначала умножим обе части на \(-1\), что изменит знак неравенства на противоположный, получим \( 4x^{2} — 3x — 1 \leq 0 \). Теперь решим квадратное неравенство с положительным коэффициентом при \( x^{2} \), что упростит анализ.

Вычислим дискриминант для уравнения \( 4x^{2} — 3x — 1 = 0 \): \( D = (-3)^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \). Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле: \( x_1 = \frac{3 — 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \), \( x_2 = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).

Поскольку коэффициент при \( x^{2} \) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство \( 4x^{2} — 3x — 1 \leq 0 \) выполняется между корнями, то есть при \( -\frac{1}{4} \leq x \leq 1 \). Среди целых чисел в этом промежутке находятся \( 0 \) и \( 1 \). Таким образом, целые решения второго неравенства: \( 0 \) и \( 1 \).

Итоговые целые решения для обоих неравенств: для первого — \( -5 \), \( -4 \); для второго — \( 0 \), \( 1 \). Эти решения получены путём анализа знаков квадратных выражений и нахождения интервалов, на которых соответствующие неравенства выполняются. Такой подход позволяет точно определить все целые значения \( x \), удовлетворяющие исходным условиям.