ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 978 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(\begin{cases} x^2-5x-6<0, \\ x>-1{,}2; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2-5x-6<0, \\ x>0; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x^2-5x-6<0, \\ x\geq6; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x^2-5x-6\leq0, \\ x\geq6; \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} 6x^2+x-2>0, \\ x\geq1; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} 6x^2+x-2>0, \\ x>-1{,}2; \end{cases}\)

7) \(\begin{cases} 6x^2+x-2>0, \\ x>-2; \end{cases}\)

8) \(\begin{cases} 6x^2+x-2\geq0, \\ x>-2; \end{cases}\)

1) Решаем \(x^2 — 5x — 6 < 0\). Дискриминант \(D = 25 + 24 = 49\), корни \(x_1 = \frac{5-7}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{5+7}{2} = 6\). Неравенство верно при \(-1 < x < 6\). Условие \(x > -1,2\) сужает область до \((-1; 6)\).

2) То же неравенство, условие \(x > 0\). Пересечение \(( -1; 6)\) и \((0; +\infty)\) даёт \((0; 6)\).

3) Условие \(x \geq 6\) не пересекается с \(-1 < x < 6\), решений нет.

4) Неравенство \(x^2 — 5x — 6 \leq 0\), корни те же, область \(-1 \leq x \leq 6\). При \(x \geq 6\) пересечение только в точке \(6\).

5) Решаем \(6x^2 + x — 2 > 0\). Дискриминант \(D=1+48=49\), корни \(x_1 = \frac{-1-7}{12} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{-1+7}{12} = \frac{1}{2}\). Неравенство верно при \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > \frac{1}{2}\). Условие \(x > 1\) сужает область до \((1; +\infty)\).

6) То же неравенство, условие \(x > -\frac{1}{3}\). Пересечение с \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > \frac{1}{2}\) даёт \((\frac{1}{2}; +\infty)\).

7) Условие \(x > -2\). Пересечение с решением \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > \frac{1}{2}\) даёт \((-2; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)\).

8) Неравенство \(6x^2 + x — 2 \geq 0\), область \(x \leq \frac{1}{2}\). Решение \(x \leq -\frac{2}{3}\) или \(x \geq \frac{1}{2}\). Пересечение даёт \((-\infty; -\frac{2}{3}] \cup \{\frac{1}{2}\}\).

Рассмотрим неравенство \(x^2 — 5x — 6 < 0\). Для его решения сначала вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=-6\). Получаем \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляя значения, получаем \(x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6\). Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, парабола направлена вверх, следовательно, неравенство \(x^2 — 5x — 6 < 0\) выполняется между корнями, то есть на промежутке \(-1 < x < 6\).

Далее учитываем дополнительное условие \(x > -1,2\). Это условие ограничивает область определения решения, сужая её слева до \(-1,2\). Поскольку \(-1,2 > -1\), окончательный интервал решения — это пересечение \((-1; 6)\) и \((-1,2; +\infty)\), что даёт интервал \((-1,2; 6)\). Таким образом, ответом будет множество всех \(x\), удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно: \(x \in (-1,2; 6)\).

Для второго варианта задачи, где условие \(x > 0\), решение первого неравенства остаётся тем же: \(-1 < x < 6\). Пересечение с условием даёт новый интервал, поскольку \(x > 0\) сужает область слева до нуля. Пересечение интервалов \((-1; 6)\) и \((0; +\infty)\) — это \((0; 6)\). Следовательно, решение системы — все \(x\) из интервала \((0; 6)\).

В третьем случае условие \(x \geq 6\) не пересекается с интервалом решения первого неравенства \((-1; 6)\), так как 6 не входит в открытый интервал и больше либо равно 6 — это точка или область справа от 6. Следовательно, решений нет, множество решений пусто.

Четвёртый случай рассматривает неравенство \(x^2 — 5x — 6 \leq 0\), где знак «меньше или равно» расширяет область решения до включения корней. Корни те же: \(-1\) и \(6\). Следовательно, область решения — от \(-1\) до \(6\) включительно, то есть \([-1; 6]\). Условие \(x \geq 6\) сужает область справа, пересечение даёт только точку \(6\). Значит, ответ — \(x = 6\).

Пятый пример — неравенство \(6x^2 + x — 2 > 0\). Считаем дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49\), корни по формуле: \(x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2}\). Парабола с положительным коэффициентом при \(x^2\) направлена вверх, поэтому неравенство больше нуля выполняется вне корней: \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > \frac{1}{2}\). Условие \(x > 1\) сужает область справа, следовательно, пересечение — только \(x > 1\). Ответ: \((1; +\infty)\).

В шестом случае условие \(x > -\frac{1}{3}\) пересекается с решением неравенства \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > \frac{1}{2}\). Поскольку \(-\frac{1}{3} > -\frac{2}{3}\), левая часть решения исключается, остаётся только \(x > \frac{1}{2}\) как пересечение с условием. Итог: \(\left(\frac{1}{2}; +\infty\right)\).

В седьмом варианте условие \(x > -2\) пересекается с решением неравенства. Левая часть решения \(x < -\frac{2}{3}\) теперь ограничена снизу \(-2\), так что становится \((-2; -\frac{2}{3})\). Правая часть \(x > \frac{1}{2}\) сохраняется. Итоговое решение — объединение двух интервалов: \((-2; -\frac{2}{3}) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)\).

Восьмой случай — неравенство \(6x^2 + x — 2 \geq 0\) с условием \(x \leq \frac{1}{2}\). Решение неравенства — \(x \leq -\frac{2}{3}\) или \(x \geq \frac{1}{2}\). Пересечение с \(x \leq \frac{1}{2}\) даёт \(x \leq -\frac{2}{3}\) и точку \(x = \frac{1}{2}\). Ответ: \((-\infty; -\frac{2}{3}] \cup \{\frac{1}{2}\}\).