ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 980 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(y=\frac{4}{\sqrt{x^2+3x-10}};\)

2) \(y=\frac{6}{\sqrt{12+x-x^2}};\)

3) \(y=\sqrt{49-x^2}+\sqrt{x^2+3x-4};\)

1) Область определения:
\(x^2 + 3x — 10 > 0\), дискриминант \(D = 49\), корни \(x_1 = -5\), \(x_2 = 2\).
Решаем неравенство: \((x+5)(x-2) > 0\) → \(x < -5\) или \(x > 2\).
Также \(3x — 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\).
Ответ: \((-\infty; -5) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)\).

2) Область определения:
\(x^2 — x — 12 < 0\), дискриминант \(D = 49\), корни \(x_1 = -3\), \(x_2 = 4\).
Решаем неравенство: \((x+3)(x-4) < 0\) → \(-3 < x < 4\).
Исключаем \(x^2 — 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2\).
Ответ: \((-3; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 4)\).

3) Область определения:
\(x^2 + 3x — 4 > 0\), дискриминант \(D = 25\), корни \(x_1 = -4\), \(x_2 = 1\).
Решаем неравенство: \((x+4)(x-1) > 0\) → \(x < -4\) или \(x > 1\).
Также \(49 — x^2 \geq 0 \Rightarrow -7 \leq x \leq 7\).
Пересечение: \([-7; -4) \cup (1; 7]\).
Ответ: \([-7; -4) \cup (1; 7]\).

1) Рассмотрим функцию \(y = \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3x — 10}} + \frac{1}{3x — 9}\). Для определения области определения необходимо учесть ограничения, накладываемые корнем и знаменателем. Во-первых, подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть \(x^2 + 3x — 10 > 0\), так как корень из отрицательного числа в действительных числах не определён. Во-вторых, знаменатель второго слагаемого не должен быть равен нулю, следовательно, \(3x — 9 \neq 0\).

Для решения неравенства \(x^2 + 3x — 10 > 0\) вычислим дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\). Корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x — 10 = 0\) находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=3\). Тогда \(x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство выполняется вне корней: \(x < -5\) или \(x > 2\).

Также необходимо исключить точки, где знаменатель второго слагаемого равен нулю: \(3x — 9 = 0 \Rightarrow x = 3\). Значит, \(x \neq 3\).

Итоговая область определения функции — объединение интервалов, где соблюдаются все условия: \(x \in (-\infty; -5) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)\).

2) Для функции \(y = \frac{6}{\sqrt{12 + x — x^2}} — \frac{2}{x^2 — 4}\) необходимо определить область определения, учитывая подкоренное выражение и знаменатель. Подкоренное выражение должно быть строго положительным: \(12 + x — x^2 > 0\), а знаменатель не должен равняться нулю: \(x^2 — 4 \neq 0\).

Перепишем неравенство: \( -x^2 + x + 12 > 0\) или \(x^2 — x — 12 < 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Корни уравнения \(x^2 — x — 12 = 0\) равны \(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(x^2 — x — 12 < 0\) выполняется между корнями: \(-3 < x < 4\).

Далее исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю: \(x^2 — 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\). Значит, \(x \neq -2\) и \(x \neq 2\).

Область определения функции — объединение интервалов внутри \(-3 < x < 4\), исключая точки \(x = \pm 2\): \(x \in (-3; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 4)\).

3) Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{49 — x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3x — 4}}\). Для области определения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны и знаменатель не равнялся нулю. Значит, \(49 — x^2 \geq 0\) и \(x^2 + 3x — 4 > 0\).

Рассмотрим первое неравенство: \(49 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 49 \Rightarrow -7 \leq x \leq 7\).

Второе неравенство \(x^2 + 3x — 4 > 0\) решаем с помощью дискриминанта: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство выполняется вне корней: \(x < -4\) или \(x > 1\).

Объединяем условия: \(x \in [-7; 7]\) и одновременно \(x < -4\) или \(x > 1\). Пересечение даёт два интервала: \([-7; -4)\) и \((1; 7]\).

Область определения функции — \(x \in [-7; -4) \cup (1; 7]\).