ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 981 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) имеет два различных корня уравнение:

1) \(2x^2+ax+a-2=0;\)

2) \((2a-1)x^2+(a-3)x+1=0;\)

3) \(ax^2-(3a+1)x+a=0?\)

\( (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \)

\( (-\infty; 0{,}5) \cup (0{,}5; 1) \cup (13; +\infty) \)

\( (-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{5}; 0\right) \cup (0; +\infty) \)

1. Уравнение \(2x^{2} + ax + a — 2 = 0\).
Находим дискриминант:
\(D = a^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (a — 2) = a^{2} — 8a + 16\)
Чтобы было два различных корня, нужно \(D > 0\):
\(a^{2} — 8a + 16 > 0\)
\(a^{2} — 8a + 16 = (a — 4)^{2}\)
\((a — 4)^{2} > 0\)
Решением будет всё, кроме точки \(a = 4\):
\((- \infty; 4) \cup (4; +\infty)\)

2. Уравнение \((2a — 1)x^{2} + (a — 3)x + 1 = 0\).
Находим дискриминант:
\(D = (a — 3)^{2} — 4(2a — 1) \cdot 1 = a^{2} — 6a + 9 — 8a + 4 = a^{2} — 14a + 13\)
Чтобы было два корня, нужно \(D > 0\):
\(a^{2} — 14a + 13 > 0\)
Решаем квадратное неравенство:
\(a^{2} — 14a + 13 = 0\)
Находим корни:
\(a_{1} = 1\), \(a_{2} = 13\)
Значит, \(a < 1\) или \(a > 13\)
Также коэффициент при \(x^{2}\) не должен быть равен нулю:
\(2a — 1 \neq 0\)
\(a \neq 0{,}5\)
Ответ:
\((- \infty; 0{,}5) \cup (0{,}5; 1) \cup (13; +\infty)\)

3. Уравнение \(a x^{2} — (3a + 1)x + a = 0\).
Находим дискриминант:
\(D = (3a + 1)^{2} — 4a^{2} = 9a^{2} + 6a + 1 — 4a^{2} = 5a^{2} + 6a + 1\)
Чтобы было два корня, нужно \(D > 0\):
\(5a^{2} + 6a + 1 > 0\)
Решаем квадратное неравенство:
\(5a^{2} + 6a + 1 = 0\)
Находим корни:
\(a_{1} = -1\), \(a_{2} = -\frac{1}{5}\)
Значит, \(a < -1\) или \(a > -\frac{1}{5}\)
Также коэффициент при \(x^{2}\) не должен быть равен нулю:
\(a \neq 0\)
Ответ:
\((- \infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{5}; 0\right) \cup (0; +\infty)\)