ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 982 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) множеством решений неравенства является множество действительных чисел:

1) \(5x^2-x+a>0;\)

2) \(ax^2-10x-5<0;\)

3) \(ax^2-2(a-1)x+4a\leq0;\)

4) \((a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0?\)

1) \(a > \frac{1}{20};\)
2) \(a < -5;\)
3) \(a \leq -1\) или \(a \geq \frac{1}{3};\)
4) \(a < -1\) или \(a > \frac{5}{3};\)

1)
Рассмотрим неравенство \(5x^{2} — x + a > 0\).
Коэффициент при \(x^{2}\) положительный, значит ветви параболы вверх.
Чтобы выражение было больше нуля при любом \(x\), дискриминант должен быть отрицательным:
\(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 5 \cdot a = 1 — 20a\)
\(1 — 20a < 0\)
\(20a > 1\)
\(a > \frac{1}{20}\)

2)
Рассмотрим неравенство \(a x^{2} — 10x — 5 < 0\).
Коэффициент при \(x^{2}\) должен быть отрицательным, чтобы ветви были вниз:
\(a < 0\)
Чтобы выражение было меньше нуля при любом \(x\), дискриминант должен быть отрицательным:
\(D = (-10)^{2} — 4a(-5) = 100 + 20a\)
\(100 + 20a < 0\)
\(20a < -100\)
\(a < -5\)

3)
Рассмотрим неравенство \(a x^{2} — 2(a-1)x + 4a \leq 0\).
Коэффициент при \(x^{2}\) должен быть отрицательным, чтобы ветви были вниз:
\(a < 0\)
Дискриминант должен быть неположительным:
\(D = [-2(a-1)]^{2} — 4a \cdot 4a = 4(a-1)^{2} — 16a^{2}\)
\(4(a^{2} — 2a + 1) — 16a^{2} = 4a^{2} — 8a + 4 — 16a^{2}\)
\(-12a^{2} — 8a + 4 \leq 0\)
\(12a^{2} + 8a — 4 \geq 0\)
\(3a^{2} + 2a — 1 \geq 0\)
Решим квадратное неравенство:
\(3a^{2} + 2a — 1 = 0\)
\(a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}\)
\(a_{1} = -1, \quad a_{2} = \frac{1}{3}\)
Ответ: \(a \leq -1\) или \(a \geq \frac{1}{3}\)

4)
Рассмотрим неравенство \((a-1)x^{2} — (a+1)x + a + 1 > 0\).
Коэффициент при \(x^{2}\) должен быть положительным, чтобы ветви были вверх:
\(a-1 > 0\)
\(a > 1\)
Дискриминант должен быть отрицательным:
\(D = (a+1)^{2} — 4(a-1)(a+1)\)
\(= a^{2} + 2a + 1 — 4(a^{2} — 1)\)
\(= a^{2} + 2a + 1 — 4a^{2} + 4\)
\(= -3a^{2} + 2a + 5\)
\(-3a^{2} + 2a + 5 < 0\)
\(3a^{2} — 2a — 5 > 0\)
Решим квадратное неравенство:
\(3a^{2} — 2a — 5 = 0\)
\(a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{2 \pm 8}{6}\)
\(a_{1} = -1, \quad a_{2} = \frac{5}{3}\)
Так как \(a > 1\), берем только \(a > \frac{5}{3}\).
Ответ: \(a < -1\) или \(a > \frac{5}{3}\)