ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 983 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1) \(\begin{cases} y-x^2=3, \\ x+y=5; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x-y=7, \\ xy=-12; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} y=x^2-4, \\ y=-x^2+4x-4; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x^2+y^2=25, \\ y=x^2-5. \end{cases}\)

1)
Подставим \(y = 5 — x\) во второе уравнение:
\(5 — x — x^{2} = 3\)
\(5 — x — x^{2} — 3 = 0\)
\( -x — x^{2} + 2 = 0\)
\(x^{2} + x — 2 = 0\)
\(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 1\)
\(y_{1} = 5 — (-2) = 7\)
\(y_{2} = 5 — 1 = 4\)
Ответ: \((-2; 7)\), \((1; 4)\)

2)
\(y = x — 7\)
\(x(x — 7) = -12\)
\(x^{2} — 7x + 12 = 0\)
\(x_{1} = 3\), \(x_{2} = 4\)
\(y_{1} = 3 — 7 = -4\)
\(y_{2} = 4 — 7 = -3\)
Ответ: \((3; -4)\), \((4; -3)\)

3)
\(x^{2} — 4 = -x^{2} + 4x — 4\)
\(x^{2} + x^{2} — 4x = 0\)
\(2x^{2} — 4x = 0\)
\(2x(x — 2) = 0\)
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 2\)
\(y_{1} = 0^{2} — 4 = -4\)
\(y_{2} = 2^{2} — 4 = 0\)
Ответ: \((0; -4)\), \((2; 0)\)

4)
\(y = x^{2} — 5\)
\(x^{2} + (x^{2} — 5)^{2} = 25\)
\(x^{2} + x^{4} — 10x^{2} + 25 = 25\)
\(x^{4} — 9x^{2} = 0\)
\(x^{2}(x^{2} — 9) = 0\)
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 3\), \(x_{3} = -3\)
\(y_{1} = 0^{2} — 5 = -5\)
\(y_{2} = 3^{2} — 5 = 4\)
\(y_{3} = (-3)^{2} — 5 = 4\)
Ответ: \((-3; 4)\), \((0; -5)\), \((3; 4)\)

1)
Рассмотрим систему:
\(y — x^{2} = 3\)
\(x + y = 5\)

Из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = 5 — x\)

Подставим это значение во первое уравнение:
\(5 — x — x^{2} = 3\)

Переносим все в одну сторону:
\(5 — x — x^{2} — 3 = 0\)
\(2 — x — x^{2} = 0\)

Перепишем уравнение:
\(x^{2} + x — 2 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:
\(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 1\)

Находим соответствующие значения \(y\):
Для \(x_{1} = -2\), \(y_{1} = 5 — (-2) = 7\)
Для \(x_{2} = 1\), \(y_{2} = 5 — 1 = 4\)

Ответ: \((-2; 7)\), \((1; 4)\)

2)
Рассмотрим систему:
\(x — y = 7\)
\(xy = -12\)

Выразим \(y\) из первого уравнения:
\(y = x — 7\)

Подставим во второе уравнение:
\(x(x — 7) = -12\)
\(x^{2} — 7x = -12\)
\(x^{2} — 7x + 12 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:
\(x_{1} = 3\), \(x_{2} = 4\)

Находим \(y\):
Для \(x_{1} = 3\), \(y_{1} = 3 — 7 = -4\)
Для \(x_{2} = 4\), \(y_{2} = 4 — 7 = -3\)

Ответ: \((3; -4)\), \((4; -3)\)

3)
Рассмотрим систему:
\(y = x^{2} — 4\)
\(y = -x^{2} + 4x — 4\)

Приравняем правые части:
\(x^{2} — 4 = -x^{2} + 4x — 4\)

Переносим все в одну сторону:
\(x^{2} — 4 + x^{2} — 4x + 4 = 0\)
\(2x^{2} — 4x = 0\)

Вынесем \(2x\) за скобку:
\(2x(x — 2) = 0\)

Решаем уравнение:
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 2\)

Находим \(y\):
Для \(x_{1} = 0\), \(y_{1} = 0^{2} — 4 = -4\)
Для \(x_{2} = 2\), \(y_{2} = 2^{2} — 4 = 0\)

Ответ: \((0; -4)\), \((2; 0)\)

4)
Рассмотрим систему:
\(x^{2} + y^{2} = 25\)
\(y = x^{2} — 5\)

Подставим значение \(y\) во первое уравнение:
\(x^{2} + (x^{2} — 5)^{2} = 25\)

Раскроем скобки:
\(x^{2} + (x^{4} — 10x^{2} + 25) = 25\)
\(x^{2} + x^{4} — 10x^{2} + 25 = 25\)
\(x^{4} — 9x^{2} = 0\)

Вынесем \(x^{2}\):
\(x^{2}(x^{2} — 9) = 0\)

Решаем уравнение:
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 3\), \(x_{3} = -3\)

Находим \(y\):
Для \(x_{1} = 0\), \(y_{1} = 0^{2} — 5 = -5\)
Для \(x_{2} = 3\), \(y_{2} = 3^{2} — 5 = 4\)
Для \(x_{3} = -3\), \(y_{3} = (-3)^{2} — 5 = 4\)

Ответ: \((-3; 4)\), \((0; -5)\), \((3; 4)\)