ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 984 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} x-4y=-6, \\ x^2+4y^2=8; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 3x+y=-2, \\ 3x^2-2xy=28; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x^2-y^2=21, \\ x+y=-3; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x^2-xy+y^2=7, \\ x-y=1; \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} (x-1)(y-1)=-2, \\ x+y=1; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} (x-2)(y+1)=1, \\ x-2y=13; \end{cases}\)

7) \(\begin{cases} x^2+2xy+y^2=25, \\ x^2-3xy=4; \end{cases}\)

8) \(\begin{cases} 2x^2-12=14, \\ x-y=3; \end{cases}\)

9) \(\begin{cases} x+1-25, \\ x^2+2=25; \end{cases}\)

10) \(\begin{cases} x^2+2xy=5, \\ y^2-4xy=-4. \end{cases}\)

1) Из первого уравнения \(x = 4y — 6\). Подставляем во второе: \((4y — 6)^2 + 4y^2 = 8\). Получаем квадратное уравнение по \(y\): \(5y^2 — 12y + 7 = 0\). Решая, находим \(y_1 = 1\), \(y_2 = \frac{14}{10} = 1.4\). Тогда \(x_1 = -2\), \(x_2 = -0.4\). Ответ: \((-2; 1)\), \((-0.4; 1.4)\).

2) Из первого уравнения \(y = -3x — 2\). Подставляем во второе: \(3x^2 — 2x(-3x — 2) = 28\), приводим к \(9x^2 + 4x — 28 = 0\). Решаем, находим \(x_1 = -2\), \(x_2 = \frac{14}{9}\). Тогда \(y_1 = 4\), \(y_2 = -\frac{20}{3}\). Ответ: \((-2; 4)\), \(\left(\frac{14}{9}; -\frac{20}{3}\right)\).

3) Из первого \(x = 13 — 2y\). Подставляем во второе: \(y(13 — 2y) = 15\), получаем \(2y^2 — 13y + 15 = 0\). Решаем, \(y_1 = 1.5\), \(y_2 = 5\). Тогда \(x_1 = 10\), \(x_2 = 3\). Ответ: \((10; 1.5)\), \((3; 5)\).

4) Из первого \(y = 1.5x — 9\). Подставляем во второе: \(x(1.5x — 9) = -12\), упрощаем до \(x^2 — 6x + 8 = 0\). Решаем, \(x_1 = 2\), \(x_2 = 4\). Тогда \(y_1 = -6\), \(y_2 = -3\). Ответ: \((2; -6)\), \((4; -3)\).

5) Из второго \(y = -x — 3\). Подставляем в первое: \(x^2 — (-x — 3)^2 = 21\), упрощаем до \(6x = -30\), \(x = -5\), тогда \(y = 2\). Ответ: \((-5; 2)\).

6) Из второго \(y = x — 1\). Подставляем в первое: \(x^2 — x(x — 1) + (x — 1)^2 = 7\), упрощаем до \(x^2 — x — 6 = 0\). Решаем, \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\). Тогда \(y_1 = -3\), \(y_2 = 2\). Ответ: \((-2; -3)\), \((3; 2)\).

7) Из второго \(y = 1 — x\). Подставляем в первое: \((x — 1)(y — 1) = -2\), упрощаем до \(x^2 — x — 2 = 0\). Решаем, \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\). Тогда \(y_1 = 2\), \(y_2 = -1\). Ответ: \((-1; 2)\), \((2; -1)\).

8) Из второго \(y = x — 3\). Подставляем в первое: \((x — 2)(x — 2) = 1\), упрощаем до \(x^2 — 4x + 3 = 0\). Решаем, \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\). Тогда \(y_1 = -2\), \(y_2 = 0\). Ответ: \((1; -2)\), \((3; 0)\).

9) Из второго \(y = 12 — x\). Подставляем в первое: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{12 — x} = \frac{3}{8}\), приводим к квадратному уравнению \(x^2 — 12x + 32 = 0\). Решаем, \(x_1 = 4\), \(x_2 = 8\). Тогда \(y_1 = 8\), \(y_2 = 4\). Ответ: \((4; 8)\), \((8; 4)\).

10) Из второго \(y = x + 4\). Подставляем в первое: \(\frac{1}{x} — \frac{1}{x + 4} = \frac{4}{5}\), приводим к \(x^2 + 4x — 5 = 0\). Решаем, \(x_1 = -5\), \(x_2 = 1\). Тогда \(y_1 = -1\), \(y_2 = 5\). Ответ: \((-5; -1)\), \((1; 5)\).

Рассмотрим систему уравнений:

\(\begin{cases} \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \\ y — x = 4 \end{cases}\)

Первым шагом выразим переменную \(y\) через \(x\) из второго уравнения. Получаем \(y = x + 4\). Это позволит нам подставить выражение для \(y\) в первое уравнение и свести систему к одному уравнению с одной переменной.

Подставляем \(y = x + 4\) в первое уравнение:

\(\frac{1}{x} — \frac{1}{x + 4} = \frac{4}{5}\).

Для удобства избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель \(5x(x + 4)\):

\(5(x + 4) — 5x = 4x(x + 4)\).

Раскроем скобки:

\(5x + 20 — 5x = 4x^2 + 16x\).

Слева сокращаем \(5x — 5x = 0\), остается:

\(20 = 4x^2 + 16x\).

Переносим все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\(4x^2 + 16x — 20 = 0\).

Делим уравнение на 4 для упрощения:

\(x^2 + 4x — 5 = 0\).

Теперь решим квадратное уравнение по формуле корней:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\).

Вычисляем дискриминант:

\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).

Корни:

\(x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\),

\(x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Теперь находим соответствующие значения \(y\) по формуле \(y = x + 4\):

Для \(x_1 = -5\): \(y_1 = -5 + 4 = -1\).

Для \(x_2 = 1\): \(y_2 = 1 + 4 = 5\).

Таким образом, решения системы:

\((-5; -1)\) и \((1; 5)\).