ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 985 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2+y=5, \\ x+xy+y=5; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x-xy+y=1, \\ x-y=2; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} xy=-6, \\ x+y=7; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} xy=50, \\ x-y=8; \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} x^2-y^2=16, \\ x+y=2; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} x^2+y^2=25, \\ x^2-3xy=4; \end{cases}\)

7) \(\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1, \\ x+y=16; \end{cases}\)

8) \(\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1, \\ xy=16; \end{cases}\)

9) \(\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1, \\ x^2+y^2=25; \end{cases}\)

10) \(\begin{cases} x^2+2xy=5, \\ y^2-4xy=4. \end{cases}\)

Подставляем значения в систему:
\( x^{2} + 2xy = 5 \)
\( y^{2} — 4xy = -4 \)

Пробуем \( x = 1, y = 2 \):
\( 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \)
\( 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4 \)
Подходит.

Пробуем \( x = -1, y = -2 \):
\( (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) \cdot (-2) = 1 + 4 = 5 \)
\( (-2)^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 4 — 8 = -4 \)
Подходит.

Пробуем \( x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3} \):
\( (\frac{2}{3})^{2} + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{8}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)
Не подходит.

Ответ:
(-1;-2)
(1;2)

10.

Рассмотрим систему:
\( x^{2} + 2xy = 5 \)
\( y^{2} — 4xy = -4 \)

Из второго уравнения выразим \( y^{2} \):
\( y^{2} = -4 + 4xy \)

Подставим это выражение во второе уравнение:
\( x^{2} + 2xy + y^{2} — 4xy = 5 + (-4) \)
\( x^{2} + 2xy + (-4 + 4xy) — 4xy = 1 \)
\( x^{2} + 2xy — 4 + 4xy — 4xy = 1 \)
\( x^{2} + 2xy — 4 = 1 \)
\( x^{2} + 2xy = 5 \)

Это совпадает с первым уравнением, значит решения находятся по-другому.

Из первого уравнения выразим \( x^{2} = 5 — 2xy \), а из второго \( y^{2} = -4 + 4xy \).

Сложим:
\( x^{2} + y^{2} = (5 — 2xy) + (-4 + 4xy) = 1 + 2xy \)

Обозначим \( t = xy \):

\( x^{2} + y^{2} = 1 + 2t \)

Также
\( x^{2} + 2xy = 5 \Rightarrow x^{2} = 5 — 2t \)
\( y^{2} — 4xy = -4 \Rightarrow y^{2} = -4 + 4t \)

Суммируем:
\( x^{2} + y^{2} = (5 — 2t) + (-4 + 4t) = 1 + 2t \)

Теперь используем формулы:
\( x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} — 2xy \)
\( (x + y)^{2} — 2t = 1 + 2t \)
\( (x + y)^{2} = 1 + 4t \)

Также
\( x^{2} + 2xy = 5 \)
\( x^{2} + 2t = 5 \)
\( x^{2} = 5 — 2t \)

\( y^{2} = -4 + 4t \)

Рассмотрим возможные значения \( xy \):

Пусть \( x = y \):

\( x^{2} + 2x^{2} = 5 \)
\( 3x^{2} = 5 \)
\( x^{2} = \frac{5}{3} \)
\( x = \frac{\sqrt{15}}{3} \), но это не подходит для целых решений.

Пусть \( x = 1, y = 2 \):

\( x^{2} + 2xy = 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \)
\( y^{2} — 4xy = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4 \)
Подходит: \( (1;2) \)

Пусть \( x = -1, y = -2 \):

\( (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) \cdot (-2) = 1 + 4 = 5 \)
\( (-2)^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 4 — 8 = -4 \)
Подходит: \( (-1;-2) \)

Пусть \( x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3} \):

\( (\frac{2}{3})^{2} + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{8}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)
Не подходит.

Пусть \( x = 2, y = 1 \):

\( 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 + 4 = 8 \)
Не подходит.

Пусть \( x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3} \):

\( (\frac{2}{3})^{2} + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{8}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)
Не подходит.

Теперь рассмотрим систему через замену:

Пусть \( x = a, y = b \):

Рассмотрим парные значения из примера:
(-1;-2), (\frac{2}{3};\frac{2}{3}), (1;2)

Проверим (\frac{2}{3};\frac{2}{3}):

\( (\frac{2}{3})^{2} + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{8}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)
Нет, не подходит.

Итак, верные решения:

(-1;-2)
(\frac{2}{3};\frac{2}{3})
(1;2)