ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 986 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения:

1) прямой \(3x-y-5=0\) и параболы \(y=\frac{3}{2}x^2-2x+4;\)

2) прямой \(2x-3y-3=0\) и гиперболы \(xy=3;\)

3) окружности \(x^2+y^2=13\) и гиперболы \(xy=6.\)

1) \(3x — y — 5 = 0\)
\(y = \frac{2}{3}x^{2} — 2x + 4\)

\(y = 3x — 5\)

\(3x — 5 = \frac{2}{3}x^{2} — 2x + 4\)

\(\frac{2}{3}x^{2} — 5x + 9 = 0\)

\(2x^{2} — 15x + 27 = 0\)

\(D = 15^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 27 = 225 — 216 = 9\)

\(x_{1} = \frac{15 — 3}{2 \cdot 2} = 3\), \(x_{2} = \frac{15 + 3}{2 \cdot 2} = 4.5\)

\(y_{1} = 3 \cdot 3 — 5 = 4\), \(y_{2} = 3 \cdot 4.5 — 5 = 8.5\)

\((3;\ 4)\), \((4.5;\ 8.5)\)

2) \(2x — 3y — 3 = 0\)
\(xy = 3\)

\(y = \frac{3}{x}\)

\(2x — 3 \cdot \frac{3}{x} — 3 = 0\)

\(2x^{2} — 3x — 9 = 0\)

\(D = 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 + 72 = 81\)

\(x_{1} = \frac{3 — 9}{2 \cdot 2} = -1.5\), \(x_{2} = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = 3\)

\(y_{1} = \frac{3}{-1.5} = -2\), \(y_{2} = \frac{3}{3} = 1\)

\((-1.5;\ -2)\), \((3;\ 1)\)

3) \(x^{2} + y^{2} = 13\)
\(xy = 6\)

\(y = \frac{6}{x}\)

\(x^{2} + \left(\frac{6}{x}\right)^{2} = 13\)

\(x^{2} + \frac{36}{x^{2}} — 13 = 0\)

\(x^{4} — 13x^{2} + 36 = 0\)

\(D = 13^{2} — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25\)

\(x_{1}^{2} = \frac{13 — 5}{2} = 4\), \(x_{2}^{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9\)

\(x_{1} = \pm 2\), \(x_{2} = \pm 3\)

\(y_{1} = \frac{6}{2} = 3\), \(y_{2} = \frac{6}{-2} = -3\), \(y_{3} = \frac{6}{3} = 2\), \(y_{4} = \frac{6}{-3} = -2\)

\((-2;\ -3)\), \((2;\ 3)\), \((-3;\ -2)\), \((3;\ 2)\)

1)
Рассмотрим систему:
\(3x — y — 5 = 0\)
\(y = \frac{2}{3}x^{2} — 2x + 4\)

Подставим выражение для \(y\) из второго уравнения в первое:
\(3x — \left(\frac{2}{3}x^{2} — 2x + 4\right) — 5 = 0\)

Раскроем скобки:
\(3x — \frac{2}{3}x^{2} + 2x — 4 — 5 = 0\)

Объединим подобные члены:
\(3x + 2x — \frac{2}{3}x^{2} — 4 — 5 = 0\)
\(5x — \frac{2}{3}x^{2} — 9 = 0\)

Перенесём всё в одну сторону:
\(-\frac{2}{3}x^{2} + 5x — 9 = 0\)

Умножим обе части на \(-3\) для удобства:
\(2x^{2} — 15x + 27 = 0\)

Вычислим дискриминант:
\(D = (-15)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 27 = 225 — 216 = 9\)

Найдём корни:
\(x_{1} = \frac{15 — 3}{4} = 3\)
\(x_{2} = \frac{15 + 3}{4} = 4.5\)

Найдём \(y\) для каждого \(x\):
\(y_{1} = 3x_{1} — 5 = 3 \cdot 3 — 5 = 4\)
\(y_{2} = 3x_{2} — 5 = 3 \cdot 4.5 — 5 = 8.5\)

Ответ:
\((3;\ 4)\), \((4.5;\ 8.5)\)

2)
Рассмотрим систему:
\(2x — 3y — 3 = 0\)
\(xy = 3\)

Выразим \(y\) из второго уравнения:
\(y = \frac{3}{x}\)

Подставим во второе уравнение:
\(2x — 3 \cdot \frac{3}{x} — 3 = 0\)

Преобразуем:
\(2x — \frac{9}{x} — 3 = 0\)

Умножим на \(x\):
\(2x^{2} — 3x — 9 = 0\)

Вычислим дискриминант:
\(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81\)

Найдём корни:
\(x_{1} = \frac{3 — 9}{4} = -1.5\)
\(x_{2} = \frac{3 + 9}{4} = 3\)

Найдём \(y\) для каждого \(x\):
\(y_{1} = \frac{3}{-1.5} = -2\)
\(y_{2} = \frac{3}{3} = 1\)

Ответ:
\((-1.5;\ -2)\), \((3;\ 1)\)

3)
Рассмотрим систему:
\(x^{2} + y^{2} = 13\)
\(xy = 6\)

Выразим \(y\) из второго уравнения:
\(y = \frac{6}{x}\)

Подставим во второе уравнение:
\(x^{2} + \left(\frac{6}{x}\right)^{2} = 13\)

Преобразуем:
\(x^{2} + \frac{36}{x^{2}} = 13\)

Умножим на \(x^{2}\):
\(x^{4} + 36 = 13x^{2}\)
\(x^{4} — 13x^{2} + 36 = 0\)

Обозначим \(t = x^{2}\):
\(t^{2} — 13t + 36 = 0\)

Вычислим дискриминант:
\(D = 13^{2} — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25\)

Найдём корни:
\(t_{1} = \frac{13 — 5}{2} = 4\)
\(t_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9\)

\(x_{1} = 2\), \(x_{2} = -2\), \(x_{3} = 3\), \(x_{4} = -3\)

Найдём \(y\) для каждого \(x\):
\(y_{1} = \frac{6}{2} = 3\)
\(y_{2} = \frac{6}{-2} = -3\)
\(y_{3} = \frac{6}{3} = 2\)
\(y_{4} = \frac{6}{-3} = -2\)

Ответ:
\((-2;\ -3)\), \((2;\ 3)\), \((-3;\ -2)\), \((3;\ 2)\)