ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 989 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь — 180 см\(^2\). Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты \(x\) и \(y\).

Площадь: \( \frac{1}{2} x y = 180 \), значит \( x y = 360 \), \( y = \frac{360}{x} \).

По теореме Пифагора: \( x^{2} + y^{2} = 41^{2} = 1681 \).

Подставим \(y\):

\( x^{2} + \left(\frac{360}{x}\right)^{2} = 1681 \)

\( x^{2} + \frac{129600}{x^{2}} = 1681 \)

\( x^{4} — 1681x^{2} + 129600 = 0 \)

Обозначим \( t = x^{2} \):

\( t^{2} — 1681t + 129600 = 0 \)

Решаем:

\( t = \frac{1681 \pm 1519}{2} \)

\( t_{1} = \frac{3200}{2} = 1600 \), \( t_{2} = \frac{162}{2} = 81 \)

\( x_{1} = \sqrt{1600} = 40 \), \( y_{1} = \frac{360}{40} = 9 \)

\( x_{2} = \sqrt{81} = 9 \), \( y_{2} = \frac{360}{9} = 40 \)

Ответ: \( 9 \) см и \( 40 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого обозначим через \(x\) и \(y\), а гипотенуза равна \(41\) см. По формуле площади прямоугольного треугольника, где катеты являются основаниями, а высота совпадает с одним из катетов, получаем: \( \frac{1}{2} x y = 180 \). Умножим обе части на \(2\), чтобы избавиться от дроби: \( x y = 360 \). Это уравнение связывает между собой значения катетов. Теперь выразим один катет через другой: \( y = \frac{360}{x} \).

Далее применим теорему Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это для нашего случая: \( x^{2} + y^{2} = 41^{2} \). Вычислим квадрат гипотенузы: \( 41^{2} = 1681 \). Подставим ранее найденное выражение для \(y\) в это уравнение: \( x^{2} + \left(\frac{360}{x}\right)^{2} = 1681 \). Теперь возведём дробь в квадрат: \( x^{2} + \frac{129600}{x^{2}} = 1681 \). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на \(x^{2}\): \( x^{4} + 129600 = 1681x^{2} \). Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно \(x^{2}\): \( x^{4} — 1681x^{2} + 129600 = 0 \).

Введём новую переменную \( t = x^{2} \), чтобы упростить вид уравнения: \( t^{2} — 1681t + 129600 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить по формуле корней квадратного уравнения: \( t = \frac{1681 \pm \sqrt{1681^{2} — 4 \cdot 129600}}{2} \). Найдём дискриминант: \( 1681^{2} = 2825761 \), \( 4 \cdot 129600 = 518400 \), значит подкоренное выражение равно \( 2825761 — 518400 = 2307361 \). Извлекаем корень: \( \sqrt{2307361} = 1519 \). Теперь подставим значения: первый корень \( t_{1} = \frac{1681 + 1519}{2} = \frac{3200}{2} = 1600 \), второй корень \( t_{2} = \frac{1681 — 1519}{2} = \frac{162}{2} = 81 \).

Переходим к нахождению самих катетов. Если \( x^{2} = 1600 \), то \( x = \sqrt{1600} = 40 \), а \( y = \frac{360}{40} = 9 \). Если \( x^{2} = 81 \), то \( x = \sqrt{81} = 9 \), а \( y = \frac{360}{9} = 40 \). В обоих случаях катеты равны \(9\) см и \(40\) см. Проверим оба варианта по условиям задачи: площадь \( \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = \frac{1}{2} \cdot 360 = 180 \) см\(^2\), гипотенуза \( \sqrt{9^{2} + 40^{2}} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \) см, все условия выполняются. Ответ: \( 9 \) см и \( 40 \) см.