ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 873 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии:
1) \(-0,6; 3; -15; \dots\);
2) \(56; 42; 31,5; \dots\).

1) Для геометрической прогрессии \(-0,6; 3; -15; \dots\) первый член \(b_1 = -0,6\), знаменатель \(q = \frac{3}{-0,6} = -5\). Сумма первых четырёх членов по формуле \(S_4 = b_1 \cdot \frac{1 — q^4}{1 — q}\) равна \(S_4 = -0,6 \cdot \frac{1 — (-5)^4}{1 — (-5)} = -0,6 \cdot \frac{1 — 625}{1 + 5} = -0,6 \cdot \frac{-624}{6} = 62,4\). Ответ: \(62,4\).

2) Для геометрической прогрессии \(56; 42; 31,5; \dots\) первый член \(b_1 = 56\), знаменатель \(q = \frac{42}{56} = 0,75\). Сумма первых четырёх членов по формуле \(S_4 = b_1 \cdot \frac{1 — q^4}{1 — q}\) равна \(S_4 = 56 \cdot \frac{1 — (0,75)^4}{1 — 0,75} = 56 \cdot \frac{1 — 0,31640625}{0,25} = 56 \cdot \frac{0,68359375}{0,25} =\)
\(= 56 \cdot 2,734375 = 153,125\). Ответ: \(153,125\).

1) Рассмотрим первую геометрическую прогрессию: \(-0,6; 3; -15; \dots\). Для нахождения суммы первых четырёх членов нам нужно определить первый член прогрессии и её знаменатель. Первый член \(b_1 = -0,6\), а второй член \(b_2 = 3\). Знаменатель прогрессии \(q\) находится как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{-0,6} = -5\). Таким образом, каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на \(-5\).

Теперь используем формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\). Для \(n = 4\) подставим значения: \(S_4 = -0,6 \cdot \frac{1 — (-5)^4}{1 — (-5)}\). Сначала вычислим степень: \((-5)^4 = 625\), так как возведение в чётную степень даёт положительное число. Тогда числитель: \(1 — 625 = -624\), а знаменатель: \(1 — (-5) = 1 + 5 = 6\). Получаем \(S_4 = -0,6 \cdot \frac{-624}{6}\).

Упростим выражение: \(\frac{-624}{6} = -104\), а затем \(-0,6 \cdot (-104) = 0,6 \cdot 104\). Разложим это как \(0,6 \cdot (100 + 4) = 0,6 \cdot 100 + 0,6 \cdot 4 = 60 + 2,4 = 62,4\). Таким образом, сумма первых четырёх членов равна \(62,4\). Ответ для первого пункта: \(62,4\).

2) Перейдём ко второй геометрической прогрессии: \(56; 42; 31,5; \dots\). Аналогично определим первый член и знаменатель. Первый член \(b_1 = 56\), второй член \(b_2 = 42\). Знаменатель \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{42}{56} = 0,75\). Можно заметить, что \(0,75 = \frac{3}{4}\), и это подтверждается при проверке третьего члена: \(42 \cdot 0,75 = 31,5\), что совпадает с заданным значением.

Применяем формулу суммы первых \(n\) членов: \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\). Для \(n = 4\) имеем \(S_4 = 56 \cdot \frac{1 — (0,75)^4}{1 — 0,75}\). Сначала вычислим \((0,75)^4\). Представим \(0,75\) как \(\frac{3}{4}\), тогда \(\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}\). Числитель: \(1 — \frac{81}{256} = \frac{256}{256} — \frac{81}{256} = \frac{175}{256}\), а знаменатель: \(1 — 0,75 = 0,25 = \frac{1}{4}\).

Получаем \(S_4 = 56 \cdot \frac{\frac{175}{256}}{\frac{1}{4}} = 56 \cdot \frac{175}{256} \cdot 4 = 56 \cdot \frac{175 \cdot 4}{256}\). Упростим: \(175 \cdot 4 = 700\), а \(\frac{700}{256} = \frac{700 \div 4}{256 \div 4} = \frac{175}{64}\). Теперь \(56 \cdot \frac{175}{64}\). Заметим, что \(56 = \frac{56}{1}\), а \(64 = \frac{64}{1}\), и вычислим \(56 \cdot \frac{175}{64} = \frac{56 \cdot 175}{64}\). Разложим \(56 = 7 \cdot 8\), а \(64 = 8 \cdot 8\), тогда \(\frac{56}{64} = \frac{7}{8}\), и итог: \(\frac{7}{8} \cdot 175 = \frac{7 \cdot 175}{8} = \frac{1225}{8} = 153 \frac{1}{8}\).

Таким образом, сумма первых четырёх членов равна \(153 \frac{1}{8}\), или в десятичной записи \(153,125\). Ответ для второго пункта: \(153 \frac{1}{8}\).