ГДЗ по Алгебре 9 Класс Упражнения Страница 104 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Используя график функции \( y = f(x) \), изображённый на рисунке 69, постройте график функции \( y = f(-x) \).

2. Постройте график функции \( y = \sqrt{x — 2} \). Используя полученный график, постройте график функции \( y = \sqrt{-x — 2} \).

Как построить график функции \( y = f(|x|) \), если известен график функции \( y = f(x) \)

Для функции \( y = f(|x|) \) можно записать:

\[
y = f(|x|) = \begin{cases}
f(x), \text{ если } x \geq 0, \\
f(-x), \text{ если } x < 0.
\end{cases}
\]

1)

Используем правило: график функции \( y = f(-x) \) получается отражением графика \( y = f(x) \) относительно оси \( y \).

а) Для функции \( y = f(x) \) (парабола):
Точки исходного графика:
\( (-2, 0), (-1, -1), (0, -2), (1, -1), (2, 2) \)
Точки для \( y = f(-x) \):
\( (2, 0), (1, -1), (0, -2), (-1, -1), (-2, 2) \)
Строим график по этим точкам.

б) Для функции \( y = f(x) \) (ломаная):
Исходные точки:
\( (-6, 2), (-4, 1), (-2, 0), (0, -1), (2, 0), (4, 1), (6, 2) \)
Точки для \( y = f(-x) \):
\( (6, 2), (4, 1), (2, 0), (0, -1), (-2, 0), (-4, 1), (-6, 2) \)
Строим график.

в) Для функции \( y = f(x) \) (волнообразный):
Исходные точки:
\( (-3, -3), (-2, 3), (-1, 0), (0, 1), (1, -1), (2, 2) \)
Точки для \( y = f(-x) \):
\( (3, -3), (2, 3), (1, 0), (0, 1), (-1, -1), (-2, 2) \)
Строим график.

2)

Пусть дана функция \( f(x) = \sqrt{x — 2} \).

Построим график функции \( y = \sqrt{x — 2} \). Область определения: \( x \geq 2 \).

Теперь рассмотрим функцию \( g(x) = \sqrt{-x — 2} \).

Можно записать \( g(x) = f(-x) \).

Это значит, что график функции \( g(x) \) получается отражением графика функции \( f(x) \) относительно оси \( y \) (оси ординат).

Область определения функции \( g(x) \): \( -x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \).

Таким образом, графики \( f(x) \) и \( g(x) \) симметричны относительно оси координат \( y \).

1)

1. Рассмотрим функцию \( y = f(x) \) с графиком, заданным точками:
\( (-2, 0), (-1, -1), (0, -2), (1, -1), (2, 2) \).
Чтобы получить график функции \( y = f(-x) \), заменяем в каждой точке координату \( x \) на противоположную:
\( (-2, 0) \to (2, 0) \),
\( (-1, -1) \to (1, -1) \),
\( (0, -2) \to (0, -2) \),
\( (1, -1) \to (-1, -1) \),
\( (2, 2) \to (-2, 2) \).
Таким образом, новые точки для построения графика \( y = f(-x) \) будут:
\( (2, 0), (1, -1), (0, -2), (-1, -1), (-2, 2) \).
Это отражение исходного графика относительно оси \( y \).

2. Для функции \( y = f(x) \) с ломаным графиком, заданным точками:
\( (-6, 2), (-4, 1), (-2, 0), (0, -1), (2, 0), (4, 1), (6, 2) \).
Применяем то же правило: меняем знак у \( x \) в каждой точке:
\( (-6, 2) \to (6, 2) \),
\( (-4, 1) \to (4, 1) \),
\( (-2, 0) \to (2, 0) \),
\( (0, -1) \to (0, -1) \),
\( (2, 0) \to (-2, 0) \),
\( (4, 1) \to (-4, 1) \),
\( (6, 2) \to (-6, 2) \).
Новые точки для графика \( y = f(-x) \):
\( (6, 2), (4, 1), (2, 0), (0, -1), (-2, 0), (-4, 1), (-6, 2) \).
График отражается относительно оси \( y \).

3. Для функции \( y = f(x) \) с волнообразным графиком, заданным точками:
\( (-3, -3), (-2, 3), (-1, 0), (0, 1), (1, -1), (2, 2) \).
Меняем знак у \( x \) в каждой точке:
\( (-3, -3) \to (3, -3) \),
\( (-2, 3) \to (2, 3) \),
\( (-1, 0) \to (1, 0) \),
\( (0, 1) \to (0, 1) \),
\( (1, -1) \to (-1, -1) \),
\( (2, 2) \to (-2, 2) \).
Новые точки для графика \( y = f(-x) \):
\( (3, -3), (2, 3), (1, 0), (0, 1), (-1, -1), (-2, 2) \).
Этот график является отражением исходного относительно оси \( y \).

2)

1) Построим график функции \( y = \sqrt{x — 2} \). Для этого определим область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \( x — 2 \geq 0 \), следовательно, \( x \geq 2 \). Значит, график начинается в точке \( (2, 0) \) и продолжается вправо, так как корень из числа неотрицателен.

2) Запишем функцию \( f(x) = \sqrt{x — 2} \) и построим её график, который является частью параболы, начиная с точки \( x = 2 \).

3) Теперь рассмотрим функцию \( g(x) = \sqrt{-x — 2} \). Чтобы понять её график, найдем область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \( -x — 2 \geq 0 \). Отсюда \( -x \geq 2 \), значит \( x \leq -2 \).

4) Функцию \( g(x) \) можно переписать через функцию \( f \) как \( g(x) = f(-x) \), так как \( f(-x) = \sqrt{-x — 2} \).

5) Это означает, что график функции \( g(x) \) можно получить из графика \( f(x) \) отражением относительно оси \( y \) (оси ординат), потому что замена \( x \) на \( -x \) отражает точки по горизонтали.

6) Таким образом, графики функций \( f(x) = \sqrt{x — 2} \) и \( g(x) = \sqrt{-x — 2} \) симметричны относительно оси координат \( y \).

7) На графике функция \( f(x) \) расположена справа от оси \( y \) для \( x \geq 2 \), а функция \( g(x) \) расположена слева от оси \( y \) для \( x \leq -2 \).

8) В точках \( x = 2 \) и \( x = -2 \) обе функции принимают значение 0, то есть \( f(2) = 0 \) и \( g(-2) = 0 \).

9) Это подтверждает, что графики касаются оси \( x \) в этих точках и симметрично расположены относительно оси \( y \).

10) Итог: построив график функции \( y = \sqrt{x — 2} \), мы использовали его для построения графика функции \( y = \sqrt{-x — 2} \), который является отражением первого графика относительно оси \( y \).