ГДЗ по Алгебре 9 Класс Упражнения Страница 105 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Используя график функции \( y = f(x) \), изображённый на рисунке 69, постройте график функции \( y = f(|x|) \).

2. Используя график функции \( y = x + 2 \), постройте график функции \( y = |x| + 2 \).
3. Постройте график функции:
1) \( y = |x| — 3 \);
2) \( y = x^2 — 4|x| \);
3) \( y = x^2 + 2|x| — 3 \);
4) \( y = 2|x| — x^2 \);
5) \( y = \frac{4}{|x|} \);
6) \( y = \frac{4}{|x|} — 2 \);
7) \( y = \frac{4}{|x| — 2} \);
8) \( y = \sqrt{|x|} \).

1)

Используем график функции \( y = f(x) \) для построения графика функции \( y = f(|x|) \).

а) Для \( x \geq 0 \) график не меняется, для \( x < 0 \) отражаем часть графика \( x > 0 \) относительно оси \( y \).

б) Аналогично: для \( x \geq 0 \) график не меняется, для \( x < 0 \) отражаем часть графика \( x > 0 \) относительно оси \( y \).

в) Для \( x \geq 0 \) график не меняется, для \( x < 0 \) отражаем часть графика \( x > 0 \) относительно оси \( y \).

Итог: график \( y = f(|x|) \) на отрицательной части оси \( x \) совпадает с зеркальным отражением графика \( y = f(x) \) для положительных \( x \).

2)

Используем график функции \( y = x + 2 \).

Для функции \( y = |x| + 2 \):

— При \( x \geq 0 \), \( y = x + 2 \) (берём график \( y = x + 2 \) для неотрицательных \( x \)).
— При \( x < 0 \), \( y = -x + 2 \) (отражаем график \( y = x + 2 \) относительно оси \( y \)).

Таким образом, график функции \( y = |x| + 2 \) состоит из двух лучей:

— \( y = x + 2 \), если \( x \geq 0 \),
— \( y = -x + 2 \), если \( x < 0 \).

Это соответствует изображённому графику.

3)

1) \( y = |x| — 3 \)
Берём значение модуля \( |x| \), затем вычитаем 3. График — V-образный сдвиг вниз на 3.

2) \( y = x^{2} — 4|x| \)
Подставляем значения \( x \), считаем квадрат и вычитаем 4 умноженное на модуль \( x \). График параболы с двумя ветвями.

3) \( y = x^{2} + 2|x| — 3 \)
Квадрат числа плюс 2 умноженное на модуль минус 3. График похож на параболу, смещённую вниз.

4) \( y = 2|x| — x^{2} \)
Удваиваем модуль \( x \), вычитаем квадрат \( x \). График — перевёрнутая парабола с вершинами около ±1.

5) \( y = \frac{4}{|x|} \)
Делим 4 на модуль \( x \). При \( x \to 0 \) функция стремится к бесконечности, при больших \( |x| \) стремится к 0.

6) \( y = \frac{4}{|x|} — 2 \)
Как в пункте 5, но вычитаем 2 вниз.

7) \( y = \frac{4}{|x| — 2} \)
Делим 4 на разность модуля \( x \) и 2. Область определения \( x \neq \pm 2 \), при \( |x| \to 2 \) функция стремится к бесконечности.

8) \( y = \sqrt{|x|} \)
Берём квадратный корень из модуля \( x \). График начинается в точке (0,0) и растёт симметрично в обе стороны.

1)

1) Дана функция \( y = f(x) \) с графиком на рисунке (а). Необходимо построить график функции \( y = f(|x|) \).

Для положительных значений \( x \geq 0 \) график функции \( y = f(|x|) \) совпадает с графиком \( y = f(x) \), то есть остается без изменений. Для отрицательных значений \( x < 0 \) значение функции определяется по модулю аргумента, то есть \( y = f(|x|) = f(-x) \). Значит, график для \( x < 0 \) является зеркальным отражением части графика функции \( y = f(x) \) для \( x > 0 \) относительно оси \( y \).

Таким образом, для построения графика \( y = f(|x|) \) берем правую часть графика функции \( y = f(x) \) и отражаем ее относительно оси \( y \) на отрицательную часть оси \( x \).

2) Аналогично для функции на рисунке (б). Для \( x \geq 0 \) график функции \( y = f(|x|) \) совпадает с графиком \( y = f(x) \). Для \( x < 0 \) строим зеркальное отражение правой части графика \( y = f(x) \) относительно оси \( y \).

В результате график функции \( y = f(|x|) \) на отрицательной части оси \( x \) равен отражению правой части графика \( y = f(x) \).

3) Для функции на рисунке (в) применяем то же правило. Для \( x \geq 0 \) график \( y = f(|x|) \) совпадает с графиком \( y = f(x) \). Для \( x < 0 \) строим зеркальное отражение правой части графика \( y = f(x) \) относительно оси \( y \).

В итоге получаем, что график функции \( y = f(|x|) \) на отрицательной оси \( x \) является зеркальным отражением графика функции \( y = f(x) \) на положительной оси \( x \).

Итог: построение графика функции \( y = f(|x|) \) сводится к сохранению правой части графика \( y = f(x) \) и зеркальному отражению этой части на левую сторону.

2)

1. Дана функция \( y = x + 2 \). На координатной плоскости её график — прямая, проходящая через точку \( (0, 2) \) с угловым коэффициентом 1 (наклон равен 1).

2. Нужно построить график функции \( y = |x| + 2 \). Абсолютное значение \( |x| \) означает, что для отрицательных значений \( x \) мы берём противоположное положительное значение.

3. Рассмотрим функцию по частям:

— Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), значит функция равна \( y = x + 2 \).
— Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), значит функция равна \( y = -x + 2 \).

4. Для \( x \geq 0 \) график совпадает с графиком исходной функции \( y = x + 2 \).

5. Для \( x < 0 \) график — это отражённая относительно оси \( y \) часть прямой \( y = x + 2 \), то есть \( y = -x + 2 \).

6. Построим график для \( x \geq 0 \): точка \( (0, 2) \), затем \( (1, 3) \), \( (2, 4) \) и так далее.

7. Построим график для \( x < 0 \): точка \( (0, 2) \), затем \( (-1, 3) \), \( (-2, 4) \) и так далее.

8. Соединим эти две части — получается график, состоящий из двух лучей с вершиной в точке \( (0, 2) \).

9. Этот график является графиком функции \( y = |x| + 2 \).

10. Таким образом, используя график функции \( y = x + 2 \), мы построили график функции \( y = |x| + 2 \), как показано на рисунке.

3)

1) Функция \( y = |x| — 3 \) означает, что мы берём абсолютное значение числа \( x \), то есть расстояние от нуля без учёта знака. Например, если \( x = -2 \), то \( |x| = 2 \). После этого из результата вычитаем 3. Значит, для каждого \( x \) считаем \( y = |x| — 3 \). График этой функции будет V-образным, так как \( |x| \) создаёт угол, а вычитание 3 сдвигает весь график вниз по оси \( y \) на 3 единицы.

2) В функции \( y = x^{2} — 4|x| \) сначала возводим \( x \) в квадрат, затем вычитаем 4, умноженное на модуль \( x \). Например, при \( x = 2 \) получаем \( y = 2^{2} — 4 \times 2 = 4 — 8 = -4 \). При \( x = -3 \) будет \( y = (-3)^{2} — 4 \times 3 = 9 — 12 = -3 \). График этой функции — парабола, но она изменена модулем, поэтому ветви не классические, а со сгибами.

3) Для функции \( y = x^{2} + 2|x| — 3 \) сначала возводим \( x \) в квадрат, затем прибавляем двойное значение модуля \( x \), и в конце вычитаем 3. Например, при \( x = 1 \) получаем \( y = 1^{2} + 2 \times 1 — 3 = 1 + 2 — 3 = 0 \). При \( x = -2 \) будет \( y = 4 + 4 — 3 = 5 \). График похож на параболу, но сдвинут вниз и имеет дополнительные изгибы из-за модуля.

4) В функции \( y = 2|x| — x^{2} \) сначала удваиваем модуль \( x \), затем вычитаем квадрат \( x \). Например, при \( x = 1 \) получаем \( y = 2 \times 1 — 1^{2} = 2 — 1 = 1 \). При \( x = -2 \) будет \( y = 2 \times 2 — 4 = 4 — 4 = 0 \). График — перевёрнутая вниз парабола с вершинами около \( x = \pm 1 \).

5) Для функции \( y = \frac{4}{|x|} \) значение функции равно 4, делённому на модуль \( x \). При \( x = 2 \) получаем \( y = \frac{4}{2} = 2 \), при \( x = -1 \) — \( y = \frac{4}{1} = 4 \). При \( x \to 0 \) функция стремится к бесконечности, так как деление на очень маленькое число даёт большой результат. При больших значениях \( |x| \) функция стремится к нулю.

6) Функция \( y = \frac{4}{|x|} — 2 \) похожа на предыдущую, но из результата вычитается 2. Например, при \( x = 2 \) получаем \( y = \frac{4}{2} — 2 = 2 — 2 = 0 \). При \( x = 1 \) будет \( y = 4 — 2 = 2 \). График сдвинут вниз на 2 единицы.

7) В функции \( y = \frac{4}{|x| — 2} \) знаменатель — разность между модулем \( x \) и 2. Значит, при \( |x| = 2 \) знаменатель равен нулю, и функция не определена. Область определения — все \( x \), кроме \( x = \pm 2 \). При приближении \( |x| \) к 2 функция стремится к бесконечности. Например, при \( x = 3 \) получаем \( y = \frac{4}{3 — 2} = 4 \), при \( x = -4 \) — \( y = \frac{4}{4 — 2} = 2 \).

8) Функция \( y = \sqrt{|x|} \) означает, что сначала берём модуль \( x \), потом извлекаем квадратный корень. Например, при \( x = 4 \) получаем \( y = \sqrt{4} = 2 \), при \( x = -9 \) — \( y = \sqrt{9} = 3 \). График начинается в точке (0,0) и растёт симметрично вправо и влево, так как модуль убирает знак минус.