ГДЗ по Алгебре 9 Класс Упражнения Страница 108 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Используя график функции \( y = f(x) \), изображённый на рисунке 69, постройте график функции:
1) \( y = |f(x)| \);
2) \( y = |f(|x|)| \).

2. Используя график функции \( y = x + 2 \), постройте график функции \( y = |x + 2| \).

3. Постройте график функции:
1) \( y = |x — 3| \);
2) \( y = |x^2 — 4x| \);
3) \( y = |x^2 + 2x — 3| \);
4) \( y = |2x — x^2| \);
5) \( y = \left|\frac{4}{x} — 2\right| \);
6) \( y = \left|\frac{4}{x — 2}\right| \).

4. Постройте график функции:
1) \( y = ||x| — 3| \);
2) \( y = |x^2 — 4|x|| \);
3) \( y = |x^2 + 2|x| — 3| \);
4) \( y = |2|x| — x^2| \);
5) \( y = \left|\frac{4}{|x|} — 2\right| \);
6) \( y = \left|\frac{4}{|x| — 2}\right| \).

5. Постройте график функции:
1) \( y = \sqrt{4 — |x|} \);
2) \( y = 3 — \sqrt{4 — |x|} \);
3) \( y = |3 — \sqrt{4 — |x|}| \);
4) \( y = \sqrt{|4 — x|} \);
5) \( y = 3 — \sqrt{|4 — x|} \);
6) \( y = |3 — \sqrt{|4 — x|}| \).

1.
1) График \( y = |f(x)| \) строится так: все части графика функции \( y = f(x) \), которые находятся ниже оси \( x \), отражаются вверх симметрично относительно оси \( x \). Части, которые выше или на оси \( x \), остаются без изменений.

2) График \( y = |f(|x|)| \) строится так: берём правую часть графика \( y = f(x) \) при \( x \geq 0 \), отражаем её симметрично относительно оси \( y \) влево, затем все отрицательные значения функции отражаем вверх относительно оси \( x \).

2.
Используем график функции \( y = x + 2 \).

Функция \( y = |x + 2| \) равна \( y = x + 2 \), если \( x + 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq -2 \).

Если \( x < -2 \), то \( y = -(x + 2) = -x — 2 \).

Для \( x \geq -2 \) график совпадает с графиком \( y = x + 2 \).

Для \( x < -2 \) график — отражение части \( y = x + 2 \) относительно оси \( x \).

Таким образом, график функции \( y = |x + 2| \) состоит из двух частей:

Для \( x \geq -2 \): \( y = x + 2 \)

Для \( x < -2 \): \( y = -x — 2 \)

3.
1) \( y = |x — 3| \)
Если \(x \geq 3\), то \(y = x — 3\).
Если \(x < 3\), то \(y = 3 — x\).

2) \( y = |x^2 — 4x| \)
Найдем нули: \(x^2 — 4x = x(x — 4) = 0\), значит \(x = 0\) или \(x = 4\).
Если \(0 \leq x \leq 4\), то \(x^2 — 4x \leq 0\), значит \(y = 4x — x^2\).
Если \(x < 0\) или \(x > 4\), то \(y = x^2 — 4x\).

3) \( y = |x^2 + 2x — 3| \)
Найдем нули: \(x^2 + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1) = 0\), значит \(x = -3\) или \(x = 1\).
Если \(-3 \leq x \leq 1\), то \(x^2 + 2x — 3 \leq 0\), значит \(y = -x^2 — 2x + 3\).
Если \(x < -3\) или \(x > 1\), то \(y = x^2 + 2x — 3\).

4) \( y = |2x — x^2| \)
Найдем нули: \(2x — x^2 = x(2 — x) = 0\), значит \(x = 0\) или \(x = 2\).
Если \(0 \leq x \leq 2\), то \(2x — x^2 \geq 0\), значит \(y = 2x — x^2\).
Если \(x < 0\) или \(x > 2\), то \(y = x^2 — 2x\).

5) \( y = \left|\frac{4}{x} — 2\right| \)
Разрыв в \(x = 0\).
Если \(\frac{4}{x} — 2 \geq 0\), то \(y = \frac{4}{x} — 2\).
Если \(\frac{4}{x} — 2 < 0\), то \(y = 2 — \frac{4}{x}\). 6) \( y = \left|\frac{4}{x — 2}\right| \) Разрыв в \(x = 2\). Если \(x > 2\), то \(y = \frac{4}{x — 2}\).
Если \(x < 2\), то \(y = \frac{4}{2 — x}\).

4.

1) \( y = ||x| — 3| \)

Если \(x \geq 0\), то \(y = |x — 3|\).

Если \(x < 0\), то \(y = |x + 3|\).

2) \( y = |x^2 — 4|x|| \)

Если \(x \geq 0\), то \(y = |x^2 — 4x|\).

Если \(x < 0\), то \(y = |x^2 + 4x|\).

3) \( y = |x^2 + 2|x| — 3| \)

Если \(x \geq 0\), то \(y = |x^2 + 2x — 3|\).

Если \(x < 0\), то \(y = |x^2 — 2x — 3|\).

4) \( y = |2|x| — x^2| \)

Если \(x \geq 0\), то \(y = |2x — x^2|\).

Если \(x < 0\), то \(y = |-2x — x^2|\).

5) \( y = \left|\frac{4}{|x|} — 2\right| \)

При \(x \neq 0\), вычисляем \(y\) по формуле.

6) \( y = \left|\frac{4}{|x| — 2}\right| \)

Определена при \( |x| \neq 2 \).

5.

1) \( y = \sqrt{4 — |x|} \)
Область определения: \( |x| \leq 4 \).
Максимум при \( x=0 \), \( y = \sqrt{4} = 2 \).
График — верхняя часть параболы, симметрична относительно оси \(y\).

2) \( y = 3 — \sqrt{4 — |x|} \)
Область определения: \( |x| \leq 4 \).
При \( x=0 \), \( y = 3 — 2 = 1 \).
При \( |x|=4 \), \( y = 3 — 0 = 3 \).
График — перевёрнутая чаша с вершиной в (0,1).

3) \( y = |3 — \sqrt{4 — |x|}| \)
Область определения: \( |x| \leq 4 \).
Значения неотрицательны, как у функции из (2), но отрицательные части отражены вверх.

4) \( y = \sqrt{|4 — x|} \)
Область определения: все \( x \in \mathbb{R} \).
При \( x=4 \), \( y=0 \).
График — V-образная парабола с вершиной в (4,0).

5) \( y = 3 — \sqrt{|4 — x|} \)
Область определения: все \( x \in \mathbb{R} \).
При \( x=4 \), \( y=3 \).
График — перевёрнутая V-образная фигура с вершиной в (4,3).

6) \( y = |3 — \sqrt{|4 — x|}| \)
Область определения: все \( x \in \mathbb{R} \).
Значения неотрицательны, как у функции из (5), но отрицательные части отражены вверх.

1.
1) Построение графика \( y = |f(x)| \). Сначала смотрим на график функции \( y = f(x) \). Для всех точек, где \( f(x) \geq 0 \), значения функции не меняются, то есть график остаётся таким же. Для тех точек, где \( f(x) < 0 \), берём модуль от отрицательных значений, то есть отражаем эти части графика относительно оси \( x \) вверх. В итоге весь график, который был ниже оси \( x \), поднимается выше, а остальная часть остаётся без изменений.

2) Построение графика \( y = |f(|x|)| \). Сначала анализируем \( f(|x|) \). Поскольку аргумент функции берётся по модулю, значения функции для отрицательных \( x \) совпадают со значениями функции при положительных \( x \). Значит, график \( y = f(|x|) \) симметричен относительно оси \( y \) и совпадает с правой частью графика \( y = f(x) \) при \( x \geq 0 \). Теперь берём модуль от значения функции: все отрицательные значения \( f(|x|) \) отражаем вверх относительно оси \( x \). Таким образом, получаем график, который симметричен относительно оси \( y \), а все его части находятся выше или на оси \( x \).

2.
1. Рассмотрим функцию \( y = x + 2 \). Это прямая линия, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0; 2) \) и имеет наклон 1.

2. Нам нужно построить график функции \( y = |x + 2| \). По определению модуля, если выражение внутри модуля неотрицательное, то модуль равен этому выражению, а если отрицательное — меняет знак на противоположный.

3. Найдём область, где \( x + 2 \geq 0 \). Решаем неравенство: \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \).

4. Для \( x \geq -2 \) функция \( y = |x + 2| \) совпадает с функцией \( y = x + 2 \).

5. Теперь рассмотрим область \( x < -2 \). Здесь \( x + 2 < 0 \), значит \( y = |x + 2| = -(x + 2) = -x — 2 \).

6. Таким образом, график функции \( y = |x + 2| \) состоит из двух частей: для \( x \geq -2 \) это прямая \( y = x + 2 \), а для \( x < -2 \) — прямая \( y = -x — 2 \).

7. График \( y = x + 2 \) для \( x \geq -2 \) — это та часть исходной прямой, которая лежит справа от точки \( x = -2 \).

8. График \( y = -x — 2 \) для \( x < -2 \) — это отражённая относительно оси \( x \) часть прямой \( y = x + 2 \), расположенная слева от точки \( x = -2 \).

9. В точке \( x = -2 \) обе части графика соединяются, так как \( y = |-2 + 2| = |0| = 0 \).

10. Итог: график функции \( y = |x + 2| \) — это «угол» с вершиной в точке \( (-2; 0) \), состоящий из двух прямых: \( y = -x — 2 \) при \( x < -2 \) и \( y = x + 2 \) при \( x \geq -2 \).

3.
1) Рассмотрим функцию \( y = |x — 3| \). Модуль выражения означает, что результат всегда неотрицательный. Для этого надо рассмотреть два случая.
Если \(x \geq 3\), то выражение под модулем неотрицательно, значит \(y = x — 3\).
Если \(x < 3\), то выражение отрицательно, значит \(y = -(x — 3) = 3 — x\).

2) Функция \( y = |x^2 — 4x| \). Сначала найдем, где выражение под модулем равно нулю:
\(x^2 — 4x = x(x — 4) = 0\), значит \(x = 0\) или \(x = 4\).
Теперь определим знак выражения на промежутках:
При \(0 \leq x \leq 4\), \(x^2 — 4x \leq 0\), значит \(y = -(x^2 — 4x) = 4x — x^2\).
При \(x < 0\) или \(x > 4\), \(x^2 — 4x > 0\), значит \(y = x^2 — 4x\).

3) Рассмотрим \( y = |x^2 + 2x — 3| \). Найдем нули:
\(x^2 + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1) = 0\), значит \(x = -3\) или \(x = 1\).
Проверим знак выражения:
Если \(-3 \leq x \leq 1\), то \(x^2 + 2x — 3 \leq 0\), значит \(y = -(x^2 + 2x — 3) = -x^2 — 2x + 3\).
Если \(x < -3\) или \(x > 1\), то \(x^2 + 2x — 3 > 0\), значит \(y = x^2 + 2x — 3\).

4) Для функции \( y = |2x — x^2| \) найдем нули:
\(2x — x^2 = x(2 — x) = 0\), значит \(x = 0\) или \(x = 2\).
Определим знак выражения:
Если \(0 \leq x \leq 2\), то \(2x — x^2 \geq 0\), значит \(y = 2x — x^2\).
Если \(x < 0\) или \(x > 2\), то \(2x — x^2 < 0\), значит \(y = -(2x — x^2) = x^2 — 2x\).

5) Рассмотрим функцию \( y = \left|\frac{4}{x} — 2\right| \). Здесь есть разрыв при \(x = 0\), так как деление на ноль невозможно.
Рассмотрим знак выражения под модулем:
Если \(\frac{4}{x} — 2 \geq 0\), то \(y = \frac{4}{x} — 2\).
Если \(\frac{4}{x} — 2 < 0\), то \(y = -\left(\frac{4}{x} — 2\right) = 2 — \frac{4}{x}\). 6) Для функции \( y = \left|\frac{4}{x — 2}\right| \) есть разрыв в точке \(x = 2\). Если \(x > 2\), то \(\frac{4}{x — 2} > 0\), значит \(y = \frac{4}{x — 2}\).
Если \(x < 2\), то \(\frac{4}{x — 2} < 0\), значит \(y = -\frac{4}{x — 2} = \frac{4}{2 — x}\).

4.

1) Рассмотрим функцию \( y = ||x| — 3| \). Сначала найдём выражение внутри внешнего модуля. Для любого \(x\) берём модуль \( |x| \), затем вычитаем 3, получается \( |x| — 3 \). Теперь берём модуль от этого результата, то есть \( y = ||x| — 3| \). Если \(x \geq 0\), то \( |x| = x \), и функция упрощается до \( y = |x — 3| \). Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), и функция становится \( y = |-x — 3| = |-(x + 3)| = |x + 3| \). Таким образом, функция состоит из двух частей: для \(x \geq 0\) — \( y = |x — 3| \), для \(x < 0\) — \( y = |x + 3| \).

2) Рассмотрим функцию \( y = |x^2 — 4|x|| \). Для \(x \geq 0\), \( |x| = x \), тогда \( y = |x^2 — 4x| \). Для \(x < 0\), \( |x| = -x \), тогда \( y = |x^2 — 4(-x)| = |x^2 + 4x| \). Таким образом, функция имеет вид \( y = |x^2 — 4x| \) при \( x \geq 0 \) и \( y = |x^2 + 4x| \) при \( x < 0 \).

3) Рассмотрим функцию \( y = |x^2 + 2|x| — 3| \). Для \(x \geq 0\), \( |x| = x \), тогда \( y = |x^2 + 2x — 3| \). Для \(x < 0\), \( |x| = -x \), тогда \( y = |x^2 + 2(-x) — 3| = |x^2 — 2x — 3| \). Таким образом, функция представлена двумя выражениями: \( y = |x^2 + 2x — 3| \) при \( x \geq 0 \) и \( y = |x^2 — 2x — 3| \) при \( x < 0 \).

4) Рассмотрим функцию \( y = |2|x| — x^2| \). Для \(x \geq 0\), \( |x| = x \), тогда \( y = |2x — x^2| \). Для \(x < 0\), \( |x| = -x \), тогда \( y = |2(-x) — x^2| = |-2x — x^2| \). Таким образом, функция имеет вид \( y = |2x — x^2| \) при \( x \geq 0 \) и \( y = |-2x — x^2| \) при \( x < 0 \).

5) Рассмотрим функцию \( y = \left|\frac{4}{|x|} — 2\right| \). Функция определена при \( x \neq 0 \), так как знаменатель не может быть равен нулю. Для любого \(x \neq 0\) вычисляем \( y \) по формуле, подставляя значение \( |x| \). График симметричен относительно оси \(y\), так как функция зависит от модуля \(x\).

6) Рассмотрим функцию \( y = \left|\frac{4}{|x| — 2}\right| \). Функция определена при \( |x| \neq 2 \), так как в знаменателе не может быть ноль. То есть \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \). При \( x \to 2 \) или \( x \to -2 \) функция стремится к бесконечности. График симметричен относительно оси \(y\), так как функция зависит от модуля \(x\).

5.

1) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{4 — |x|} \). Чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, нужно, чтобы \( 4 — |x| \geq 0 \). Отсюда \( |x| \leq 4 \), значит область определения функции — все \( x \) такие, что \( -4 \leq x \leq 4 \). При \( x=0 \) значение функции максимально, так как \( y = \sqrt{4 — 0} = 2 \). График функции симметричен относительно оси \( y \) и представляет собой верхнюю половину фигуры, напоминающей параболу.

2) Функция \( y = 3 — \sqrt{4 — |x|} \) определена на том же промежутке \( -4 \leq x \leq 4 \), так как подкоренное выражение то же. При \( x=0 \) значение функции минимально: \( y = 3 — 2 = 1 \). При \( |x| = 4 \), \( y = 3 — 0 = 3 \). График выглядит как перевёрнутая чаша с вершиной в точке \( (0, 1) \).

3) Функция \( y = |3 — \sqrt{4 — |x|}| \) берёт абсолютное значение от функции из пункта 2. Это означает, что все отрицательные значения функции из пункта 2 становятся положительными. Область определения остаётся той же: \( -4 \leq x \leq 4 \). График похож на график из пункта 2, но все части, которые были ниже оси \( x \), отражены вверх.

4) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{|4 — x|} \). Подкоренное выражение \( |4 — x| \) всегда неотрицательно, значит функция определена на всей числовой оси \( x \in \mathbb{R} \). При \( x = 4 \) значение функции минимально и равно нулю: \( y = 0 \). При удалении \( x \) от 4 значение функции растёт как корень из модуля. График имеет форму буквы V с вершиной в точке \( (4, 0) \).

5) Функция \( y = 3 — \sqrt{|4 — x|} \) определена на всей числовой оси, так как подкоренное выражение неотрицательно. При \( x = 4 \) функция принимает максимальное значение \( y = 3 \). При удалении \( x \) от 4 значение функции уменьшается. График представляет собой перевёрнутую букву V с вершиной в точке \( (4, 3) \).

6) Функция \( y = |3 — \sqrt{|4 — x|}| \) берёт абсолютное значение от функции из пункта 5. Значения функции всегда неотрицательны. При \( x = 4 \) значение равно \( 3 \). При удалении \( x \) от 4 функция сначала уменьшается и может принимать отрицательные значения до взятия модуля, после чего отражается вверх. График напоминает букву W с вершиной в точке \( (4, 3) \).