ГДЗ по Алгебре 9 Класс Упражнения Страница 138 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:
1) \((x+1)(x-2)(x+5)>0\);
2) \(x(x-3)(x+2)<0\);
3) \((2x-1)(3-x)(x+1)<0\); 4) \((2x+3)(3x-1)(x+4)>0\).

2. Решите неравенство:
1) \((2x+1)(x-3)(x^2+4)<0\); 2) \((2-x)(3x+5)(x^2-x+1)>0\);
3) \((2x+1)^2(x^2-4x+3)>0\).

3. Решите неравенство:
1) \(\frac{x+3}{x-1}>0\);
2) \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0\);
3) \(\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)}<0\); 4) \(\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0\).

4. Решите неравенство:
1) \(\frac{1}{x}<1\); 2) \(\frac{x}{x+3}>\frac{1}{2}\);
3) \(\frac{1}{x+2}<\frac{3}{x-3}\);
4) \(\frac{4}{x+1}+\frac{2}{1-x}<1\).

1)

1. Для неравенства \((x+1)(x-2)(x+5)>0\): корни \(x=-5\), \(x=-1\), \(x=2\). Решение методом интервалов дает \(x \in (-5, -1) \cup (2, +\infty)\), где выражение положительно.

2. Для неравенства \(x(x-3)(x+2)<0\): корни \(x=-2\), \(x=0\), \(x=3\). Решение методом интервалов дает \(x \in (-\infty, -2) \cup (0, 3)\), где выражение отрицательно.

3. Для неравенства \((2x-1)(3-x)(x+1)<0\): корни \(x=-1\), \(x=\frac{1}{2}\), \(x=3\). Решение методом интервалов дает \(x \in (-1, \frac{1}{2}) \cup (3, +\infty)\), где выражение отрицательно.

4. Для неравенства \((2x+3)(3x-1)(x+4)>0\): корни \(x=-4\), \(x=-\frac{3}{2}\), \(x=\frac{1}{3}\). Решение методом интервалов дает \(x \in (-4, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)\), где выражение положительно.

2)

1. Для \((2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0\): корни в \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 3\), множитель \(x^2+4 > 0\) всегда. Знак произведения \((2x+1)(x-3)\) отрицателен на интервале \((-\frac{1}{2}, 3)\). Ответ: \(x \in (-\frac{1}{2}, 3)\).

2. Для \((2-x)(3x+5)(x^2 — x + 1) > 0\): корни в \(x = 2\), \(x = -\frac{5}{3}\), множитель \(x^2 — x + 1 > 0\) всегда. Знак произведения \((2-x)(3x+5)\) положителен на интервале \((-\frac{5}{3}, 2)\). Ответ: \(x \in (-\frac{5}{3}, 2)\).

3. Для \((2x+1)^2 (x^2 — 4x + 3) > 0\): корни в \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 1\), \(x = 3\), множитель \((2x+1)^2 \geq 0\) всегда. Знак выражения определяется \((x-1)(x-3)\), положителен на \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((-\frac{1}{2}, 1)\), \((3, +\infty)\). Ответ: \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1) \cup (3, +\infty)\).

3)

1) Для неравенства \(\frac{x+3}{x-1} > 0\) критические точки \(x = -3\) и \(x = 1\). Выражение положительно на интервалах \((-\infty, -3)\) и \((1, +\infty)\). Ответ: \(x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)\).

2) Для неравенства \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0\) критические точки \(x = -1\), \(x = 2\), \(x = 4\). Выражение отрицательно на интервалах \((-\infty, -1)\) и \((2, 4)\). Ответ: \(x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4)\).

3) Для неравенства \(\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0\) критические точки \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = 5\). Выражение отрицательно на интервалах \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((2, 3)\), \((5, +\infty)\). Ответ: \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, 3) \cup (5, +\infty)\).

4) Для неравенства \(\frac{x^3 (x-1)^4 (x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0\) критические точки \(x = -5\), \(x = 0\), \(x = \frac{1}{4}\), \(x = 1\), \(x = 8\). Выражение положительно на интервалах \((-5, 0)\), \((\frac{1}{4}, 1)\), \((1, 8)\). Ответ: \(x \in (-5, 0) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, 8)\).

4)

1. Для \(\frac{1}{x} < 1\): решение \(x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\). Объяснение: приводим к виду \(\frac{1 — x}{x} < 0\), определяем критические точки \(x = 0\) и \(x = 1\), проверяем знаки на интервалах, исключаем точки, где знаменатель равен нулю.

2. Для \(\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2}\): решение \(x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\). Объяснение: преобразуем в \(\frac{x — 3}{x + 3} > 0\), критические точки \(x = 3\) и \(x = -3\), анализируем знаки на интервалах, исключаем недопустимые значения.

3. Для \(\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}\): решение \(x \in (-4.5, -2) \cup (3, +\infty)\). Объяснение: приводим к \(\frac{-2x — 9}{(x+2)(x-3)} < 0\), критические точки \(x = -4.5\), \(x = -2\), \(x = 3\), проверяем знаки, исключаем точки разрыва.

4. Для \(\frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} < 1\): решение \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\). Объяснение: преобразуем в \(\frac{x^2 — 2x + 5}{(x+1)(1-x)} < 0\), числитель всегда положителен, анализируем знак знаменателя, критические точки \(x = -1\), \(x = 1\), определяем интервалы.

1)

1. Рассмотрим неравенство \((x+1)(x-2)(x+5)>0\). Для решения используем метод интервалов. Сначала найдем корни уравнения \((x+1)(x-2)(x+5)=0\), которые равны \(x=-5\), \(x=-1\) и \(x=2\). Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: \((-\infty, -5)\), \((-5, -1)\), \((-1, 2)\) и \((2, +\infty)\).

Теперь проверим знак выражения на каждом из этих интервалов, подставляя тестовые значения. В интервале \((-\infty, -5)\) возьмем \(x=-6\): \((-6+1)(-6-2)(-6+5)=(-5)(-8)(-1)=-40\), что меньше 0. В интервале \((-5, -1)\) возьмем \(x=-3\): \((-3+1)(-3-2)(-3+5)=(-2)(-5)(2)=20\), что больше 0. В интервале \((-1, 2)\) возьмем \(x=0\): \((0+1)(0-2)(0+5)=(1)(-2)(5)=-10\), что меньше 0. В интервале \((2, +\infty)\) возьмем \(x=3\): \((3+1)(3-2)(3+5)=(4)(1)(8)=32\), что больше 0.

Поскольку нас интересуют интервалы, где выражение больше 0, выбираем \((-5, -1)\) и \((2, +\infty)\). Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-5, -1) \cup (2, +\infty)\).

2. Рассмотрим неравенство \(x(x-3)(x+2)<0\). Найдем корни уравнения \(x(x-3)(x+2)=0\), которые равны \(x=-2\), \(x=0\) и \(x=3\). Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: \((-\infty, -2)\), \((-2, 0)\), \((0, 3)\) и \((3, +\infty)\).

Проверим знак выражения на каждом интервале. В интервале \((-\infty, -2)\) возьмем \(x=-3\): \((-3)(-3-3)(-3+2)=(-3)(-6)(-1)=-18\), что меньше 0. В интервале \((-2, 0)\) возьмем \(x=-1\): \((-1)(-1-3)(-1+2)=(-1)(-4)(1)=4\), что больше 0. В интервале \((0, 3)\) возьмем \(x=1\): \((1)(1-3)(1+2)=(1)(-2)(3)=-6\), что меньше 0. В интервале \((3, +\infty)\) возьмем \(x=4\): \((4)(4-3)(4+2)=(4)(1)(6)=24\), что больше 0.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше 0, поэтому выбираем \((-\infty, -2)\) и \((0, 3)\). Решение неравенства: \(x \in (-\infty, -2) \cup (0, 3)\).

3. Рассмотрим неравенство \((2x-1)(3-x)(x+1)<0\). Найдем корни уравнения \((2x-1)(3-x)(x+1)=0\), которые равны \(x=-1\), \(x=\frac{1}{2}\) и \(x=3\). Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: \((-\infty, -1)\), \((-1, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, 3)\) и \((3, +\infty)\).

Проверим знак выражения на каждом интервале. В интервале \((-\infty, -1)\) возьмем \(x=-2\): \((2(-2)-1)(3-(-2))(-2+1)=(-5)(5)(-1)=25\), что больше 0. В интервале \((-1, \frac{1}{2})\) возьмем \(x=0\): \((2(0)-1)(3-0)(0+1)=(-1)(3)(1)=-3\), что меньше 0. В интервале \((\frac{1}{2}, 3)\) возьмем \(x=1\): \((2(1)-1)(3-1)(1+1)=(1)(2)(2)=4\), что больше 0. В интервале \((3, +\infty)\) возьмем \(x=4\): \((2(4)-1)(3-4)(4+1)=(7)(-1)(5)=-35\), что меньше 0.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше 0, поэтому выбираем \((-1, \frac{1}{2})\) и \((3, +\infty)\). Решение неравенства: \(x \in (-1, \frac{1}{2}) \cup (3, +\infty)\).

4. Рассмотрим неравенство \((2x+3)(3x-1)(x+4)>0\). Найдем корни уравнения \((2x+3)(3x-1)(x+4)=0\), которые равны \(x=-4\), \(x=-\frac{3}{2}\) и \(x=\frac{1}{3}\). Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: \((-\infty, -4)\), \((-4, -\frac{3}{2})\), \((-\frac{3}{2}, \frac{1}{3})\) и \((\frac{1}{3}, +\infty)\).

Проверим знак выражения на каждом интервале. В интервале \((-\infty, -4)\) возьмем \(x=-5\): \((2(-5)+3)(3(-5)-1)(-5+4)=(-7)(-16)(-1)=-112\), что меньше 0. В интервале \((-4, -\frac{3}{2})\) возьмем \(x=-2\): \((2(-2)+3)(3(-2)-1)(-2+4)=(-1)(-7)(2)=14\), что больше 0. В интервале \((-\frac{3}{2}, \frac{1}{3})\) возьмем \(x=0\): \((2(0)+3)(3(0)-1)(0+4)=(3)(-1)(4)=-12\), что меньше 0. В интервале \((\frac{1}{3}, +\infty)\) возьмем \(x=1\): \((2(1)+3)(3(1)-1)(1+4)=(5)(2)(5)=50\), что больше 0.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше 0, поэтому выбираем \((-4, -\frac{3}{2})\) и \((\frac{1}{3}, +\infty)\). Решение неравенства: \(x \in (-4, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)\).

2)

1. Решим неравенство \((2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0\). Сначала найдем корни выражения, чтобы определить критические точки. Для множителя \(2x+1 = 0\) получаем \(x = -\frac{1}{2}\). Для множителя \(x-3 = 0\) имеем \(x = 3\). Множитель \(x^2+4 = 0\) не имеет действительных корней, так как \(x^2+4 > 0\) для всех \(x\), что означает, что этот множитель всегда положителен и не меняет знак.

Таким образом, критические точки \(x = -\frac{1}{2}\) и \(x = 3\) делят числовую ось на три интервала: \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((-\frac{1}{2}, 3)\) и \((3, +\infty)\). Поскольку множитель \(x^2+4\) всегда положителен, знак всего выражения определяется произведением \((2x+1)(x-3)\).

Определим знак каждого множителя в указанных интервалах. В интервале \((-\infty, -\frac{1}{2})\) при \(x = -1\): \(2x+1 = 2*(-1)+1 = -1 < 0\), \(x-3 = -1-3 = -4 < 0\), произведение \((2x+1)(x-3) = (-1)*(-4) = 4 > 0\). В интервале \((-\frac{1}{2}, 3)\) при \(x = 0\): \(2x+1 = 1 > 0\), \(x-3 = -3 < 0\), произведение \((1)*(-3) = -3 < 0\). В интервале \((3, +\infty)\) при \(x = 4\): \(2x+1 = 9 > 0\), \(x-3 = 1 > 0\), произведение \((9)*(1) = 9 > 0\).

Неравенство \((2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0\) выполняется, когда произведение \((2x+1)(x-3)\) отрицательно, то есть в интервале \((-\frac{1}{2}, 3)\). Ответ: \(x \in (-\frac{1}{2}, 3)\).

2. Решим неравенство \((2-x)(3x+5)(x^2 — x + 1) > 0\). Найдем корни: для \(2-x = 0\) получаем \(x = 2\), для \(3x+5 = 0\) имеем \(x = -\frac{5}{3}\). Для множителя \(x^2 — x + 1 = 0\) дискриминант равен \((-1)^2 — 4*1*1 = 1-4 = -3 < 0\), корней нет, и так как коэффициент при \(x^2\) положителен, \(x^2 — x + 1 > 0\) для всех \(x\).

Критические точки \(x = -\frac{5}{3}\) и \(x = 2\) делят ось на интервалы: \((-\infty, -\frac{5}{3})\), \((-\frac{5}{3}, 2)\) и \((2, +\infty)\). Знак выражения определяется произведением \((2-x)(3x+5)\), так как третий множитель всегда положителен.

Проверим знаки в интервалах. В \((-\infty, -\frac{5}{3})\) при \(x = -2\): \(2-x = 2-(-2) = 4 > 0\), \(3x+5 = 3*(-2)+5 = -1 < 0\), произведение \((4)*(-1) = -4 < 0\). В \((-\frac{5}{3}, 2)\) при \(x = 0\): \(2-x = 2 > 0\), \(3x+5 = 5 > 0\), произведение \((2)*(5) = 10 > 0\). В \((2, +\infty)\) при \(x = 3\): \(2-x = 2-3 = -1 < 0\), \(3x+5 = 9+5 = 14 > 0\), произведение \((-1)*(14) = -14 < 0\).

Неравенство \((2-x)(3x+5)(x^2 — x + 1) > 0\) выполняется, когда произведение положительно, то есть в интервале \((-\frac{5}{3}, 2)\). Ответ: \(x \in (-\frac{5}{3}, 2)\).

3. Решим неравенство \((2x+1)^2 (x^2 — 4x + 3) > 0\). Найдем корни: для \((2x+1)^2 = 0\) получаем \(x = -\frac{1}{2}\). Заметим, что \((2x+1)^2 \geq 0\) для всех \(x\), и равно нулю только при \(x = -\frac{1}{2}\). Для \(x^2 — 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0\) корни \(x = 1\) и \(x = 3\).

Критические точки \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 1\), \(x = 3\) делят ось на интервалы: \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((-\frac{1}{2}, 1)\), \((1, 3)\), \((3, +\infty)\). Поскольку \((2x+1)^2\) всегда неотрицательно, знак выражения определяется множителем \((x-1)(x-3)\), за исключением точки \(x = -\frac{1}{2}\), где выражение равно нулю.

Проверим знаки. В \((-\infty, -\frac{1}{2})\) при \(x = -1\): \((2x+1)^2 = (2*(-1)+1)^2 = (-1)^2 = 1 > 0\), \(x-1 = -2 < 0\), \(x-3 = -4 < 0\), произведение \((x-1)(x-3) = (-2)*(-4) = 8 > 0\), итог положителен. В \((-\frac{1}{2}, 1)\) при \(x = 0\): \((2x+1)^2 = 1 > 0\), \(x-1 = -1 < 0\), \(x-3 = -3 < 0\), произведение \((-1)*(-3) = 3 > 0\), итог положителен. В \((1, 3)\) при \(x = 2\): \((2x+1)^2 = 5^2 = 25 > 0\), \(x-1 = 1 > 0\), \(x-3 = -1 < 0\), произведение \((1)*(-1) = -1 < 0\), итог отрицателен. В \((3, +\infty)\) при \(x = 4\): \((2x+1)^2 = 9^2 = 81 > 0\), \(x-1 = 3 > 0\), \(x-3 = 1 > 0\), произведение \((3)*(1) = 3 > 0\), итог положителен.

Неравенство \((2x+1)^2 (x^2 — 4x + 3) > 0\) выполняется, когда произведение положительно, то есть в интервалах \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((-\frac{1}{2}, 1)\), \((3, +\infty)\). Ответ: \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1) \cup (3, +\infty)\).

3)

1) Решим неравенство \(\frac{x+3}{x-1} > 0\). Сначала определим критические точки, где числитель или знаменатель обращаются в ноль. Для числителя \(x + 3 = 0\) получаем \(x = -3\), а для знаменателя \(x — 1 = 0\) получаем \(x = 1\). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \((-\infty, -3)\), \((-3, 1)\) и \((1, +\infty)\).

Теперь составим таблицу знаков для каждого интервала, чтобы определить знак выражения \(\frac{x+3}{x-1}\). Проверим знак числителя \(x + 3\) и знаменателя \(x — 1\) в каждом интервале. В интервале \((-\infty, -3)\) оба отрицательны, значит выражение положительно. В интервале \((-3, 1)\) числитель положительный, а знаменатель отрицательный, значит выражение отрицательно. В интервале \((1, +\infty)\) оба положительны, значит выражение положительно.

Учтем, что выражение не определено в точке \(x = 1\), так как знаменатель равен нулю. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть положительно. Это интервалы \((-\infty, -3)\) и \((1, +\infty)\). Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)\).

2) Решим неравенство \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0\). Найдем критические точки. Для числителя \(x — 2 = 0\) дает \(x = 2\), а \(x + 1 = 0\) дает \(x = -1\). Для знаменателя \(x — 4 = 0\) дает \(x = 4\). Эти точки делят ось на интервалы: \((-\infty, -1)\), \((-1, 2)\), \((2, 4)\) и \((4, +\infty)\).

Составим таблицу знаков для факторов. В интервале \((-\infty, -1)\) все три фактора \((x+1)\), \((x-2)\), \((x-4)\) отрицательны, значит выражение отрицательно. В интервале \((-1, 2)\) фактор \((x+1)\) положительный, а остальные отрицательны, значит выражение положительно. В интервале \((2, 4)\) факторы \((x+1)\) и \((x-2)\) положительны, а \((x-4)\) отрицателен, значит выражение отрицательно. В интервале \((4, +\infty)\) все факторы положительны, значит выражение положительно.

Учтем, что выражение не определено в точке \(x = 4\). Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть отрицательно. Это интервалы \((-\infty, -1)\) и \((2, 4)\). Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4)\).

3) Решим неравенство \(\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0\). Определим критические точки. Для числителя \(2x + 1 = 0\) дает \(x = -\frac{1}{2}\), а \(x — 3 = 0\) дает \(x = 3\). Для знаменателя \(2 — x = 0\) дает \(x = 2\), а \(x — 5 = 0\) дает \(x = 5\). Интервалы: \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((-\frac{1}{2}, 2)\), \((2, 3)\), \((3, 5)\), \((5, +\infty)\).

Проанализируем знаки факторов в каждом интервале. В интервале \((-\infty, -\frac{1}{2})\) факторы \((2x+1)\) и \((x-3)\) отрицательны, \((2-x)\) положителен, \((x-5)\) отрицателен, значит выражение отрицательно. В интервале \((-\frac{1}{2}, 2)\) фактор \((2x+1)\) положителен, \((x-3)\) отрицателен, остальные как в предыдущем интервале, значит выражение положительно. В интервале \((2, 3)\) факторы \((2x+1)\) и \((x-3)\) положительны, \((2-x)\) и \((x-5)\) отрицательны, значит выражение отрицательно. В интервале \((3, 5)\) факторы числителя положительны, знаменателя отрицательны, значит выражение положительно. В интервале \((5, +\infty)\) факторы числителя положительны, \((2-x)\) отрицателен, \((x-5)\) положителен, значит выражение отрицательно.

Учтем, что выражение не определено в точках \(x = 2\) и \(x = 5\). Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть отрицательно. Это интервалы \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((2, 3)\) и \((5, +\infty)\). Решение неравенства: \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, 3) \cup (5, +\infty)\).

4) Решим неравенство \(\frac{x^3 (x-1)^4 (x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0\). Найдем критические точки. Для числителя \(x^3 = 0\) дает \(x = 0\) с кратностью 3, \((x-1)^4 = 0\) дает \(x = 1\) с кратностью 4, \(x + 5 = 0\) дает \(x = -5\). Для знаменателя \(x — 8 = 0\) дает \(x = 8\), а \(1 — 4x = 0\) дает \(x = \frac{1}{4}\). Интервалы: \((-\infty, -5)\), \((-5, 0)\), \((0, \frac{1}{4})\), \((\frac{1}{4}, 1)\), \((1, 8)\), \((8, +\infty)\).

Проанализируем знаки с учетом кратности. В интервале \((-\infty, -5)\) \(x^3\) отрицательно, \((x-1)^4\) положительно, \((x+5)\) отрицательно, \((x-8)\) отрицательно, \((1-4x)\) положительно, значит выражение отрицательно. В интервале \((-5, 0)\) \(x^3\) отрицательно, \((x+5)\) положительно, остальные как ранее, значит выражение положительно. В интервале \((0, \frac{1}{4})\) \(x^3\) положительно, \((x-8)\) отрицательно, значит выражение отрицательно. В интервале \((\frac{1}{4}, 1)\) \(x^3\) положительно, \((1-4x)\) отрицательно, \((x-8)\) отрицательно, значит выражение положительно. В интервале \((1, 8)\) знаки те же, выражение положительно. В интервале \((8, +\infty)\) \((x-8)\) положительно, значит выражение отрицательно.

Учтем, что выражение не определено в точках \(x = 8\) и \(x = \frac{1}{4}\). Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть положительно. Это интервалы \((-5, 0)\), \((\frac{1}{4}, 1)\) и \((1, 8)\). Решение неравенства: \(x \in (-5, 0) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, 8)\).

4)

1. Решение неравенства \(\frac{1}{x} < 1\). Начнём с преобразования неравенства. Вычтем 1 из обеих частей, чтобы привести к нулю: \(\frac{1}{x} — 1 < 0\). Теперь приведём выражение к общему знаменателю, который будет \(x\): \(\frac{1 — x}{x} < 0\). Это дробь, и нам нужно определить, где она отрицательна.

Для этого найдём критические точки, где числитель или знаменатель равны нулю. Числитель \(1 — x = 0\) при \(x = 1\), а знаменатель \(x = 0\). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \((-\infty, 0)\), \((0, 1)\) и \((1, +\infty)\). Мы должны проверить знак выражения \(\frac{1 — x}{x}\) в каждом из этих интервалов.

Возьмём тестовую точку из первого интервала, например, \(x = -1\). Подставим: \(\frac{1 — (-1)}{-1} = \frac{2}{-1} = -2\), что меньше 0, значит, подходит. Для второго интервала возьмём \(x = 0.5\): \(\frac{1 — 0.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1\), что больше 0, не подходит. Для третьего интервала возьмём \(x = 2\): \(\frac{1 — 2}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5\), что меньше 0, подходит.

Теперь учтём, что \(x = 0\) недопустим, так как знаменатель становится нулевым, а \(x = 1\) делает числитель нулевым, что не удовлетворяет строгому неравенству. Таким образом, решение: \(x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\).

2. Решение неравенства \(\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2}\). Начнём с преобразования, вычтем правую часть: \(\frac{x}{x+3} — \frac{1}{2} > 0\). Приведём к общему знаменателю \(2(x+3)\): \(\frac{2x — (x+3)}{2(x+3)} = \frac{2x — x — 3}{2(x+3)} = \frac{x — 3}{2(x+3)} > 0\). Так как 2 в знаменателе положительно, неравенство сохраняется: \(\frac{x — 3}{x + 3} > 0\).

Найдём критические точки. Числитель равен нулю при \(x — 3 = 0\), то есть \(x = 3\), а знаменатель равен нулю при \(x + 3 = 0\), то есть \(x = -3\). Эти точки делят ось на интервалы: \((-\infty, -3)\), \((-3, 3)\) и \((3, +\infty)\).

Проверим знак выражения \(\frac{x — 3}{x + 3}\) в каждом интервале. Для \(x = -4\): \(\frac{-4 — 3}{-4 + 3} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0\), подходит. Для \(x = 0\): \(\frac{0 — 3}{0 + 3} = \frac{-3}{3} = -1 < 0\), не подходит. Для \(x = 4\): \(\frac{4 — 3}{4 + 3} = \frac{1}{7} > 0\), подходит.

Учтём, что \(x = -3\) недопустим из-за нулевого знаменателя, а \(x = 3\) делает числитель нулевым, что не подходит для строгого неравенства. Итог: \(x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\).

3. Решение неравенства \(\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}\). Переместим всё в левую часть: \(\frac{1}{x+2} — \frac{3}{x-3} < 0\). Общий знаменатель \((x+2)(x-3)\), так что числитель: \((x-3) — 3(x+2) = x — 3 — 3x — 6 = -2x — 9\). Итоговое выражение: \(\frac{-2x — 9}{(x+2)(x-3)} < 0\).

Найдём критические точки. Числитель равен нулю при \(-2x — 9 = 0\), то есть \(x = -\frac{9}{2} = -4.5\). Знаменатель равен нулю при \(x + 2 = 0\), то есть \(x = -2\), и при \(x — 3 = 0\), то есть \(x = 3\). Интервалы: \((-\infty, -4.5)\), \((-4.5, -2)\), \((-2, 3)\) и \((3, +\infty)\).

Проверим знаки. Для \(x = -5\): числитель \(-2(-5) — 9 = 10 — 9 = 1 > 0\), знаменатель \((-5+2)(-5-3) = (-3)(-8) = 24 > 0\), итог \(1/24 > 0\), не подходит. Для \(x = -3\): числитель \(-2(-3) — 9 = 6 — 9 = -3 < 0\), знаменатель \((-3+2)(-3-3) = (-1)(-6) = 6 > 0\), итог \(-3/6 < 0\), подходит. Для \(x = 0\): числитель \(-2(0) — 9 = -9 < 0\), знаменатель \((0+2)(0-3) = 2 \cdot (-3) = -6 < 0\), итог \(-9/(-6) > 0\), не подходит. Для \(x = 4\): числитель \(-2(4) — 9 = -8 — 9 = -17 < 0\), знаменатель \((4+2)(4-3) = 6 \cdot 1 = 6 > 0\), итог \(-17/6 < 0\), подходит.

Учтём, что \(x = -2\) и \(x = 3\) недопустимы, а \(x = -4.5\) даёт числитель равный нулю, что не подходит. Итог: \(x \in (-4.5, -2) \cup (3, +\infty)\).

4. Решение неравенства \(\frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} < 1\). Переместим 1 влево: \(\frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} — 1 < 0\). Общий знаменатель \((x+1)(1-x)\). Числитель: \(4(1-x) + 2(x+1) — (x+1)(1-x) = 4 — 4x + 2x + 2 — (1 — x^2) = (4 + 2 — 1) + (-4x + 2x) + x^2 = x^2 — 2x + 5\). Итог: \(\frac{x^2 — 2x + 5}{(x+1)(1-x)} < 0\).

Проверим числитель \(x^2 — 2x + 5\). Дискриминант: \(2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -16 < 0\), корней нет, числитель всегда положителен. Знаменатель \((x+1)(1-x) = -(x+1)(x-1)\), критические точки \(x = -1\) и \(x = 1\). Интервалы: \((-\infty, -1)\), \((-1, 1)\) и \((1, +\infty)\).

Поскольку числитель всегда больше 0, знак зависит от знаменателя. Для \(x = -2\): \((x+1)(1-x) = (-2+1)(1-(-2)) = (-1)(3) = -3 < 0\), итог положительное на отрицательное даёт отрицательное, подходит. Для \(x = 0\): \((0+1)(1-0) = 1 \cdot 1 = 1 > 0\), итог положительное, не подходит. Для \(x = 2\): \((2+1)(1-2) = 3 \cdot (-1) = -3 < 0\), итог отрицательное, подходит.

Учтём, что \(x = -1\) и \(x = 1\) недопустимы. Итог: \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).