ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 1 «Проверьте себя» Номер 16 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет система неравенств
\(\begin{cases} x — \frac{x — 2}{3} \geq \frac{x — 3}{4} — \frac{x — 1}{2}, \\ 1 — 0,5x > x — 4? \end{cases}\)
А) 3
Б) 4
В) 5
Г) 6

Решение первого неравенства: \(x — \frac{x — 2}{3} \geq \frac{x — 3}{4} — \frac{x — 1}{2}\). Умножим все на 12: \(12x — 4(x — 2) \geq 3(x — 3) — 6(x — 1)\). Раскроем скобки: \(12x — 4x + 8 \geq 3x — 9 — 6x + 6\). Упростим: \(8x + 8 \geq -3x — 3\). Перенесем \(x\) влево, числа вправо: \(8x + 3x \geq -3 — 8\). Получим \(11x \geq -11\), откуда \(x \geq -1\).

Решение второго неравенства: \(1 — 0,5x > x — 4\). Перенесем \(x\) вправо, числа влево: \(1 + 4 > x + 0,5x\). Получим \(5 > 1,5x\), что равно \(5 > \frac{3}{2}x\). Умножим на \(\frac{2}{3}\): \(5 \cdot \frac{2}{3} > x\), то есть \(\frac{10}{3} > x\). Это означает \(x < 3\frac{1}{3}\). Объединяя решения, получаем \(-1 \leq x < 3\frac{1}{3}\). Целые числа, удовлетворяющие этому условию: \(-1, 0, 1, 2, 3\). Всего 5 целых решений.

Решение системы неравенств начинается с преобразования каждого неравенства по отдельности. Для первого неравенства, которое выглядит как \(x — \frac{x — 2}{3} \geq \frac{x — 3}{4} — \frac{x — 1}{2}\), первым шагом является избавление от знаменателей. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 4 и 2 равно 12. Умножим каждый член неравенства на 12. Это даст нам \(12x — 12 \cdot \frac{x — 2}{3} \geq 12 \cdot \frac{x — 3}{4} — 12 \cdot \frac{x — 1}{2}\). После сокращения получаем \(12x — 4(x — 2) \geq 3(x — 3) — 6(x — 1)\).

Далее раскрываем скобки: \(12x — 4x + 8 \geq 3x — 9 — 6x + 6\). Затем приводим подобные члены с каждой стороны неравенства. Слева: \(12x — 4x = 8x\), так что левая часть становится \(8x + 8\). Справа: \(3x — 6x = -3x\) и \(-9 + 6 = -3\), так что правая часть становится \(-3x — 3\). Таким образом, неравенство принимает вид \(8x + 8 \geq -3x — 3\).

Теперь необходимо собрать все члены, содержащие \(x\), на одной стороне, а все постоянные члены — на другой. Прибавим \(3x\) к обеим сторонам: \(8x + 3x + 8 \geq -3x + 3x — 3\), что упрощается до \(11x + 8 \geq -3\). Затем вычтем 8 из обеих сторон: \(11x + 8 — 8 \geq -3 — 8\), что приводит к \(11x \geq -11\). Наконец, разделим обе стороны на 11. Поскольку 11 — положительное число, знак неравенства не меняется: \(\frac{11x}{11} \geq \frac{-11}{11}\), что дает нам первое решение: \(x \geq -1\).

Перейдем ко второму неравенству: \(1 — 0,5x > x — 4\). Цель — изолировать \(x\). Сначала перенесем все члены с \(x\) на одну сторону. Прибавим \(0,5x\) к обеим сторонам: \(1 — 0,5x + 0,5x > x + 0,5x — 4\), что упрощается до \(1 > 1,5x — 4\). Затем перенесем постоянные члены на другую сторону. Прибавим 4 к обеим сторонам: \(1 + 4 > 1,5x — 4 + 4\), что дает \(5 > 1,5x\).

Чтобы избавиться от десятичной дроби, можно представить 1,5 как обыкновенную дробь \(\frac{3}{2}\). Тогда неравенство выглядит как \(5 > \frac{3}{2}x\). Для того чтобы найти \(x\), умножим обе стороны на обратную дробь к \(\frac{3}{2}\), то есть на \(\frac{2}{3}\). Поскольку \(\frac{2}{3}\) — положительное число, знак неравенства остается прежним: \(5 \cdot \frac{2}{3} > x\). Это дает \(\frac{10}{3} > x\). Для удобства понимания, можно перевести неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\). Таким образом, второе решение: \(x < 3\frac{1}{3}\). Теперь, когда у нас есть решения для каждого неравенства по отдельности, нам нужно найти значения \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Эти условия: \(x \geq -1\) и \(x < 3\frac{1}{3}\). Объединяя их, получаем интервал \(-1 \leq x < 3\frac{1}{3}\). Последний шаг — подсчет количества целых чисел, которые находятся в этом интервале. Целые числа, которые больше или равны -1 и строго меньше \(3\frac{1}{3}\), это \(-1, 0, 1, 2, 3\). Число 4 уже не попадает в этот интервал, так как \(4\) не меньше \(3\frac{1}{3}\). Подсчитав эти целые числа, мы видим, что их всего 5.