ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 2 «Проверьте себя» Номер 14 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите нули функции \(y = 2x^2 + x — 6\).

A) \(-1,5; -2\)

B) \(-1,5; 2\)

Б) \(1,5; 2\)

Г) \(1,5; -2\)

Найдем нули функции \(y = 2x^2 + x — 6\), то есть решим уравнение \(2x^2 + x — 6 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\).

Найдем корни по формуле: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1,5\),

\(x_2 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2\).

Ответ: Г) \(1,5; -2\).

1. Рассмотрим квадратное уравнение \(2x^2 + x — 6 = 0\), которое нужно решить, чтобы найти нули функции \(y = 2x^2 + x — 6\). Нули функции — это такие значения \(x\), при которых значение функции равно нулю, то есть \(y = 0\). В нашем случае это именно корни уравнения, где график функции пересекает ось \(x\).

2. Для решения квадратного уравнения сначала определим коэффициенты при степенях \(x\): \(a = 2\) — коэффициент при \(x^2\), \(b = 1\) — коэффициент при \(x\), и \(c = -6\) — свободный член. Эти значения подставим в формулу дискриминанта, который поможет понять, сколько корней будет у уравнения и какие они по виду.

3. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). Подставим наши значения: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\). Поскольку дискриминант положительный и равен \(49\), это значит, что уравнение имеет два различных вещественных корня. Если бы дискриминант был равен нулю, корень был бы один, а если меньше нуля — корней в вещественных числах не было бы.

4. Теперь найдем сами корни с помощью формулы корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим наши значения: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2}\). Корень из \(49\) равен \(7\), поэтому получаем два варианта для \(x\).

5. Первый корень: \(x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1,5\). Второй корень: \(x_2 = \frac{-1 — 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2\). Таким образом, уравнение имеет два корня: \(1,5\) и \(-2\).

6. Эти значения и являются нулями функции, то есть при \(x = 1,5\) и \(x = -2\) функция \(y = 2x^2 + x — 6\) равна нулю. Графически это точки пересечения параболы с осью \(x\).

7. Итог: уравнение \(2x^2 + x — 6 = 0\) имеет два решения, которые совпадают с нулями функции. Эти решения — числа \(1,5\) и \(-2\), что соответствует варианту Г.