ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 2 «Проверьте себя» Номер 15 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) и \(c\) вершина параболы \(y = x^2 + bx + c\) находится в точке \(M(3; 8)\)?

A) \(b = 6, c = -19\)

Б) \(b = -6, c = 17\)

B) \(b = -3, c = 8\)

Г) определить невозможно

Вершина параболы \(y = x^2 + bx + c\) находится в точке \(M(3; 8)\).

По формуле абсциссы вершины \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a = 1\).

Подставляем \(x_0 = 3\):

\(3 = -\frac{b}{2 \cdot 1}\), значит \(b = -6\).

Подставляем \(x_0\), \(b\) и \(y_0\) в уравнение параболы:

\(8 = 3^2 — 6 \cdot 3 + c\),

\(8 = 9 — 18 + c\),

\(c = 17\).

Ответ: \(b = -6\), \(c = 17\).

1. Рассмотрим параболу, заданную уравнением \(y = x^2 + bx + c\). В этом уравнении коэффициент при \(x^2\) равен 1, что означает, что парабола направлена вверх и имеет стандартную форму. Из условия известно, что вершина этой параболы находится в точке \(M(3; 8)\), то есть абсцисса вершины равна 3, а ордината вершины равна 8. Вершина параболы — это особая точка, в которой касательная к графику горизонтальна, и она задаётся координатами \((x_0; y_0)\).

2. Для нахождения коэффициента \(b\) используем формулу для абсциссы вершины параболы, которая выражается как \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) — коэффициент при \(x^2\). Поскольку в нашем уравнении \(a = 1\), подставим это значение и известное значение \(x_0 = 3\). Получаем уравнение \(3 = -\frac{b}{2 \cdot 1}\), что равно \(3 = -\frac{b}{2}\). Чтобы найти \(b\), умножим обе части уравнения на 2, получая \(6 = -b\), откуда следует, что \(b = -6\).

3. Теперь, чтобы найти коэффициент \(c\), воспользуемся тем, что вершина параболы лежит на графике, то есть её координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим \(x_0 = 3\), \(b = -6\) и \(y_0 = 8\) в уравнение \(y = x^2 + bx + c\): \(8 = 3^2 + (-6) \cdot 3 + c\). Вычислим значения: \(8 = 9 — 18 + c\), что упрощается до \(8 = -9 + c\). Прибавим 9 к обеим частям уравнения, чтобы выразить \(c\): \(8 + 9 = c\), получаем \(c = 17\).

4. Таким образом, мы нашли, что \(b = -6\) и \(c = 17\). Эти значения полностью определяют уравнение параболы с вершиной в точке \(M(3; 8)\). Уравнение принимает вид \(y = x^2 — 6x + 17\). Проверка координат вершины показывает, что при \(x = 3\), \(y = 9 — 18 + 17 = 8\), что совпадает с заданной вершиной.

5. Итог: коэффициенты \(b\) и \(c\) равны соответственно \(-6\) и \(17\). Это решение соответствует варианту Б.