ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 2 «Проверьте себя» Номер 16 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке изображён график квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\). Укажите верное утверждение, если \(D\) — дискриминант квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\).

A) \(a > 0, D > 0\)

Б) \(a < 0, D < 0\)

B) \(a > 0, D < 0\)

Г) \(a > 0, D = 0\)

Ветви параболы направлены вверх, значит \( a > 0 \).

Абсцисса вершины параболы \( x_0 = -\frac{b}{2a} \).

Вершина слева от оси \( y \), значит \( x_0 < 0 \), откуда \( b < 0 \).

График пересекает ось ординат выше нуля, значит \( c > 0 \).

График не пересекает ось абсцисс, значит корней нет, \( D < 0 \).

Ответ: \( a > 0, b < 0, c > 0, D < 0 \).

1. Парабола, заданная уравнением \( y = ax^{2} + bx + c \), имеет ветви, направленные вверх, если коэффициент при \( x^{2} \) положителен. Это связано с тем, что знак \( a \) определяет форму графика: если \( a > 0 \), парабола открыта вверх, а если \( a < 0 \), то вниз. На графике видно, что ветви направлены вверх, значит \( a > 0 \).

2. Вершина параболы — это точка максимума или минимума функции, и её абсцисса вычисляется по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Положение вершины относительно оси \( y \) важно для определения знака коэффициента \( b \). Если вершина находится слева от оси \( y \), то \( x_0 < 0 \). Подставляя это в формулу, получаем неравенство \( -\frac{b}{2a} < 0 \). Поскольку \( a > 0 \), то знак неравенства зависит только от \( b \), следовательно, \( b < 0 \).

3. Значение функции в точке \( x = 0 \) равно \( y = c \), то есть это точка пересечения графика с осью ординат. На графике видно, что пересечение происходит выше нуля, значит \( c > 0 \). Это важно, так как оно показывает, что при \( x = 0 \) функция принимает положительное значение.

4. Отсутствие пересечений графика с осью абсцисс означает, что у уравнения нет действительных корней. Корни уравнения \( ax^{2} + bx + c = 0 \) определяются дискриминантом \( D = b^{2} — 4ac \). Если \( D > 0 \), уравнение имеет два разных корня; если \( D = 0 \), один корень; если \( D < 0 \), корней нет. Так как график не пересекает ось \( x \), значит \( D < 0 \).

5. Подводя итог, учитывая все условия: \( a > 0 \) (ветви вверх), \( b < 0 \) (вершина слева от оси \( y \)), \( c > 0 \) (пересечение с осью \( y \) выше нуля), и \( D < 0 \) (нет корней), получаем полный набор условий для коэффициентов функции. Это соответствует варианту В: \( a > 0, b < 0, c > 0, D < 0 \).