ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 2 «Проверьте себя» Номер 18 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(m — n = 8\). Найдите множество значений выражения \(m\).

A) \([-16; +\infty)\)

Б) \([8; +\infty)\)

B) \((-\infty; +\infty)\)

Г) определить невозможно

Известно, что \( m — n = 8 \), значит \( m = n + 8 \).

Тогда \( mn = n(n + 8) = n^2 + 8n \).

Парабола \( y = n^2 + 8n \) ветвями вверх, так как коэффициент при \( n^2 \) положительный.

Найдем вершину параболы: \( n_0 = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4 \).

Вычислим значение функции в вершине: \( y_0 = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) = 16 — 32 = -16 \).

Область значений функции: \( [-16; +\infty) \).

Ответ: А.

1. В условии задачи дано равенство \( m — n = 8 \). Это означает, что число \( m \) на 8 больше числа \( n \). Чтобы упростить выражение для произведения \( mn \), выразим \( m \) через \( n \). Для этого к обеим частям уравнения прибавим \( n \), получим: \( m = n + 8 \). Теперь вместо \( m \) можно подставить это выражение в формулу произведения.

2. Рассмотрим произведение \( mn \). Подставим \( m = n + 8 \) и получим: \( mn = n \cdot (n + 8) \). Раскроем скобки, умножая \( n \) на каждое слагаемое: \( mn = n^2 + 8n \). Таким образом, выражение для произведения представляет собой квадратное уравнение от переменной \( n \).

3. Квадратное выражение \( n^2 + 8n \) можно рассматривать как функцию \( f(n) = n^2 + 8n \), где \( n \) — переменная. График этой функции — парабола, поскольку коэффициент при \( n^2 \) равен 1 и положителен. Парабола направлена ветвями вверх, что значит функция имеет минимум, но не имеет максимума.

4. Чтобы найти минимум функции \( f(n) = n^2 + 8n \), найдем координату вершины параболы. Формула для координаты вершины по оси \( n \) равна \( n_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 8 \). Подставим значения: \( n_0 = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4 \). Это значение переменной \( n \), при котором функция достигает минимального значения.

5. Теперь вычислим значение функции в точке вершины. Подставим \( n = -4 \) в выражение \( f(n) \): \( f(-4) = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) = 16 — 32 = -16 \). Это и есть минимальное значение произведения \( mn \).

6. Поскольку парабола направлена вверх, значения функции \( f(n) \) при \( n \to \pm \infty \) стремятся к \( +\infty \). Значит, множество значений функции — все числа, начиная с минимального значения \( -16 \) и до бесконечности. Запишем это множество в виде интервала: \( [-16; +\infty) \).

7. Таким образом, при условии \( m — n = 8 \) произведение \( mn \) может принимать любые значения, начиная с \( -16 \) и выше, но не меньше \( -16 \). Это множество и является ответом на задачу.

8. В вариантах ответов этот интервал соответствует варианту А.

9. Итог: множество значений выражения \( mn \) при условии \( m — n = 8 \) равно \( [-16; +\infty) \).

Ответ: А.