ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 2 «Проверьте себя» Номер 3 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Областью определения какой из функций является промежуток \((-\infty; 6)\)?

A) \(y = \sqrt{6 + x}\)

B) \(y = \frac{1}{\sqrt{6 + x}}\)

Б) \(y = \frac{1}{\sqrt{6 — x}}\)

Г) \(y = \sqrt{6 — x}\)

А) \(y = \sqrt{6 + x}\), чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, нужно \(6 + x \geq 0\), значит \(x \geq -6\).

Б) \(y = \frac{1}{\sqrt{6 — x}}\), подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, значит \(6 — x > 0\), откуда \(x < 6\).

В) \(y = \frac{1}{\sqrt{6 + x}}\), подкоренное выражение строго больше нуля, значит \(6 + x > 0\), откуда \(x > -6\).

Г) \(y = \sqrt{6 — x}\), подкоренное выражение неотрицательно, значит \(6 — x \geq 0\), откуда \(x \leq 6\).

Ответ: Б.

1) Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{6 + x}\). Подкоренное выражение \(6 + x\) должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа в действительных числах не определён. Это значит, что \(6 + x \geq 0\). При решении неравенства переносим \(6\) в другую сторону: \(x \geq -6\). Таким образом, функция определена для всех значений \(x\), начиная с \(-6\) и до бесконечности. Значит область определения функции — все числа \(x\), которые больше или равны \(-6\), то есть \(x \in [-6; +\infty)\).

2) Рассмотрим функцию \(y = \frac{1}{\sqrt{6 — x}}\). Здесь есть два важных условия. Во-первых, подкоренное выражение \(6 — x\) должно быть строго положительным, потому что корень должен существовать и быть не равен нулю, иначе знаменатель будет равен нулю и функция не будет определена. Значит, \(6 — x > 0\). Решая это неравенство, получаем \(x < 6\). Таким образом, функция определена для всех чисел, которые меньше шести. Если \(x\) будет равно шести или больше, выражение под корнем станет нулём или отрицательным, и функция перестанет существовать.

3) Рассмотрим функцию \(y = \frac{1}{\sqrt{6 + x}}\). Аналогично предыдущему случаю, подкоренное выражение \(6 + x\) должно быть строго больше нуля, чтобы корень существовал и знаменатель не был равен нулю. Значит, \(6 + x > 0\). Решая неравенство, получаем \(x > -6\). Следовательно, эта функция определена для всех чисел, которые строго больше \(-6\), то есть \(x \in (-6; +\infty)\).

4) Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{6 — x}\). Подкоренное выражение \(6 — x\) должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не существует. Значит, \(6 — x \geq 0\). Решая неравенство, получаем \(x \leq 6\). Таким образом, функция определена для всех чисел, которые меньше или равны шести, то есть \(x \in (-\infty; 6]\).

Ответ: Б.