Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 1 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(x\) выполняется неравенство \(x^2 > 4\)?
А) \(x > 2\)
В) \(x < -2\) или \(x > 2\)
Б) \(x > 2\) или \(x > -2\)
Г) \(-2 < x < 2\)
Решаем неравенство \(x^2 > 4\).
Переносим 4 влево: \(x^2 — 4 > 0\).
Раскладываем на множители: \((x — 2)(x + 2) > 0\).
Произведение положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны.
Первый случай: \(x — 2 > 0\) и \(x + 2 > 0\), значит \(x > 2\).
Второй случай: \(x — 2 < 0\) и \(x + 2 < 0\), значит \(x < -2\).
Ответ: \(x < -2\) или \(x > 2\).
1. Рассмотрим неравенство \(x^2 > 4\). Здесь нам нужно найти все значения \(x\), при которых квадрат числа \(x\) становится больше числа 4. Квадрат числа — это число, умноженное само на себя, то есть \(x^2 = x \cdot x\). Значение \(x^2\) всегда неотрицательно, так как при возведении в квадрат отрицательное число становится положительным.
2. Чтобы решить неравенство, сначала перенесём число 4 в левую часть, чтобы получить выражение, сравнимое с нулём. Получаем \(x^2 — 4 > 0\). Теперь нам нужно понять, при каких \(x\) выражение \(x^2 — 4\) положительно. Это выражение можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = x\), а \(b = 2\), поэтому \(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\).
3. Подставляем разложение в неравенство: \((x — 2)(x + 2) > 0\). Это означает, что произведение двух выражений должно быть больше нуля. Произведение положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны. Рассмотрим оба варианта.
4. Первый вариант: оба множителя положительны. Значит, \(x — 2 > 0\) и \(x + 2 > 0\). Из первого неравенства следует \(x > 2\), из второго — \(x > -2\). Поскольку \(x > 2\) сильнее условия \(x > -2\), то общий результат первого варианта — \(x > 2\).
5. Второй вариант: оба множителя отрицательны. Значит, \(x — 2 < 0\) и \(x + 2 < 0\). Из первого неравенства следует \(x < 2\), из второго — \(x < -2\). Поскольку \(x < -2\) сильнее условия \(x < 2\), общий результат второго варианта — \(x < -2\).
6. Таким образом, объединяя два варианта, получаем решение: \(x < -2\) или \(x > 2\). Это значит, что значения \(x\), которые удовлетворяют неравенству \(x^2 > 4\), лежат вне промежутка от \(-2\) до \(2\).
7. Проверим граничные точки \(x = -2\) и \(x = 2\). Подставляя \(x = 2\), получаем \(2^2 = 4\), при этом неравенство строгое, то есть \(x^2 > 4\), а не \(x^2 \geq 4\). Значит, при \(x = 2\) неравенство не выполняется. Аналогично при \(x = -2\) результат равен 4, что не подходит под условие. Следовательно, границы не включаются в решение.
8. Можно представить это решение на числовой оси: все значения меньше \(-2\) и больше \(2\) подходят, а значения между \(-2\) и \(2\), включая сами точки \(-2\) и \(2\), не подходят.
9. Итог: множество решений неравенства — это два интервала, расположенных по обе стороны от чисел \(-2\) и \(2\), где произведение \((x — 2)(x + 2)\) положительно.
Ответ: \(x < -2\) или \(x > 2\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.