ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 13 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пары чисел \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) являются решениями системы уравнений

\(\begin{cases} 2x — xy = 5, \\ y + xy = 6. \end{cases}\)

Найдите значение выражения \(|x_1 y_1 — x_2 y_2|\).

А) 1

Б) 11

В) 70

Г) 10

Дана система уравнений:
\(2x — xy = 5\)
\(y + xy = 6\)

Сложим уравнения:
\(2x + y = 11\)
Отсюда \(y = 11 — 2x\)

Подставим в первое уравнение:
\(2x — x(11 — 2x) = 5\)
\(2x — 11x + 2x^{2} = 5\)
\(2x^{2} — 9x — 5 = 0\)

Вычислим дискриминант:
\(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\)

Найдем корни:
\(x_{1} = \frac{9 — 11}{4} = -\frac{1}{2}\)
\(x_{2} = \frac{9 + 11}{4} = 5\)

Вычислим \(y\):
\(y_{1} = 11 — 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 12\)
\(y_{2} = 11 — 2 \cdot 5 = 1\)

Найдем значение выражения:
\(|x_{1} y_{1} — x_{2} y_{2}| = |-\frac{1}{2} \cdot 12 — 5 \cdot 1| = |-6 — 5| = 11\)

1. Нам дана система уравнений, состоящая из двух выражений: \(2x — xy = 5\) и \(y + xy = 6\). Здесь \(x\) и \(y\) — неизвестные переменные, которые нам нужно найти. Первое уравнение показывает связь между \(x\) и \(y\) через выражение \(2x — xy\), а второе — через сумму \(y + xy\). Чтобы решить систему, нужно найти такие значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

2. Для начала сложим оба уравнения. При сложении выражения \( -xy\) и \(+xy\) взаимно уничтожаются, так как они противоположны по знаку. Получаем: \(2x — xy + y + xy = 5 + 6\), что упрощается до \(2x + y = 11\). Это новое уравнение связывает \(x\) и \(y\) проще, без произведения переменных. Теперь можно выразить одну переменную через другую, например, выразим \(y\) через \(x\): \(y = 11 — 2x\). Это очень удобно, потому что мы можем подставить это выражение в одно из исходных уравнений и получить уравнение с одной переменной.

3. Подставим выражение для \(y\) в первое уравнение системы: \(2x — x(11 — 2x) = 5\). Раскроем скобки: \(2x — 11x + 2x^{2} = 5\). Теперь упростим: \(2x^{2} — 9x = 5\), перенесём 5 в левую часть, чтобы получить уравнение вида \(ax^{2} + bx + c = 0\): \(2x^{2} — 9x — 5 = 0\). Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

4. Вычислим дискриминант по формуле \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = 2\), \(b = -9\), \(c = -5\). Подставим значения: \(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\). Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два вещественных корня. Найдём их по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим: \(x_{1} = \frac{9 — 11}{4} = -\frac{1}{2}\), \(x_{2} = \frac{9 + 11}{4} = 5\).

5. Теперь найдём соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя выражение \(y = 11 — 2x\). Для \(x_{1} = -\frac{1}{2}\) получаем \(y_{1} = 11 — 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 11 + 1 = 12\). Для \(x_{2} = 5\) получаем \(y_{2} = 11 — 2 \cdot 5 = 11 — 10 = 1\). Таким образом, решения системы: \((x_{1}, y_{1}) = \left(-\frac{1}{2}, 12\right)\) и \((x_{2}, y_{2}) = (5, 1)\).

6. Последний шаг — найти значение выражения \(|x_{1} y_{1} — x_{2} y_{2}|\). Подставим найденные значения: \(\left| -\frac{1}{2} \cdot 12 — 5 \cdot 1 \right| = |-6 — 5| = |-11| = 11\). Это и есть искомое число. Таким образом, после решения системы и вычислений получаем ответ 11.