ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 14 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) уравнение \(3x^2 — bx + 3 = 0\) не имеет корней?

А) \(-6 < b < 6\)

В) \(b > 6\)

Б) \(b < 6\)

Г) \(b < -6\) или \(b > 6\)

Дано уравнение \(3x^2 — bx + 3 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = b^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^2 — 36\).

Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\), то есть \(b^2 — 36 < 0\).

Получаем \(b^2 < 36\).

Следовательно, \(-6 < b < 6\).

Ответ: А.

1. Рассмотрим квадратное уравнение \(3x^2 — bx + 3 = 0\). Чтобы понять, при каких значениях параметра \(b\) уравнение не имеет корней, нужно вспомнить, что корни зависят от дискриминанта. Дискриминант — это выражение под квадратным корнем в формуле для корней квадратного уравнения, и он показывает, сколько корней будет у уравнения. Если дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня; если равен нулю — один корень; если меньше нуля — корней нет.

2. Запишем формулу для дискриминанта уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = -b\) (в нашем случае коэффициент при \(x\) — \(-b\)), а \(c = 3\). Формула дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\). В нашем уравнении коэффициент \(b\) — это \(-b\), поэтому подставим: \(D = (-b)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3\). Возводя в квадрат, получаем \(b^2\), так как минус в квадрате становится плюсом. Значит, дискриминант равен \(D = b^2 — 36\).

3. Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным, то есть \(D < 0\). Подставим значение дискриминанта: \(b^2 — 36 < 0\). Перенесём 36 вправо: \(b^2 < 36\). Теперь найдём все \(b\), удовлетворяющие этому неравенству. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \(-6 < b < 6\). Это значит, что при любых значениях параметра \(b\) из интервала от \(-6\) до \(6\) уравнение не будет иметь корней.

4. Итак, мы подробно рассмотрели, что для отсутствия корней дискриминант должен быть отрицательным, что привело к условию на \(b\): \(b^2 < 36\), а это значит, что \(b\) должен находиться между \(-6\) и \(6\). Если \(b\) равен \(-6\) или \(6\), дискриминант будет равен нулю, и уравнение будет иметь ровно один корень, а если \(b\) меньше \(-6\) или больше \(6\), дискриминант станет положительным, и корни появятся.

5. Таким образом, ответ: уравнение не имеет корней при \(b\), лежащем в интервале \(-6 < b < 6\). Это соответствует варианту А.