Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 16 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) неравенство \(ax^2 — 4x + a \geq 0\) имеет единственное решение?
А) \(a = 2\) или \(a = -2\)
В) \(a = -2\)
Б) \(a = 2\)
Г) таких значений не существует
Одно решение:
\(ax^2 — 4x + a \geq 0\);
Дискриминант \(D = (-4)^2 — 4 \cdot a \cdot a = 16 — 4a^2 = 0\);
\(16 — 4a^2 = 0\), значит \(4a^2 = 16\);
\(a^2 = 4\), тогда \(a = \pm 2\);
Проверяем знак \(a < 0\), значит \(a = -2\);
Ответ: В.
1. Рассмотрим неравенство \(ax^2 — 4x + a \geq 0\). Чтобы понять, при каких значениях \(a\) оно имеет ровно одно решение, сначала нужно изучить уравнение \(ax^2 — 4x + a = 0\). Это квадратное уравнение, и количество его корней зависит от дискриминанта. Если дискриминант равен нулю, уравнение имеет ровно один корень, что соответствует касанию параболы оси \(x\).
2. Найдём дискриминант уравнения: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot a \cdot a = 16 — 4a^2\). Для того чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю, то есть \(16 — 4a^2 = 0\). Решая это уравнение, получаем \(4a^2 = 16\), откуда \(a^2 = 4\). Значит, \(a\) может быть равен либо \(2\), либо \(-2\).
3. Теперь рассмотрим, как знак коэффициента \(a\) влияет на неравенство. Если \(a = 2 > 0\), парабола направлена вверх. При одном корне парабола касается оси \(x\) в одной точке, и выражение \(ax^2 — 4x + a\) будет неотрицательно для всех значений \(x\). Это значит, что неравенство будет верно для любого \(x\), и решений неравенства будет бесконечно много, а не одно.
4. Если же \(a = -2 < 0\), парабола направлена вниз. В этом случае касание оси \(x\) происходит в одной точке, и выражение \(ax^2 — 4x + a\) будет больше или равно нулю только в этой точке касания. Для всех остальных значений \(x\) выражение будет отрицательным. Значит, неравенство \(ax^2 — 4x + a \geq 0\) будет иметь ровно одно решение.
5. Таким образом, из двух найденных значений \(a = 2\) и \(a = -2\) только при \(a = -2\) неравенство имеет ровно одно решение. Следовательно, правильный ответ — вариант В.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.