ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 4 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какое из данных неравенств выполняется при всех действительных значениях переменной?

А) \(x^2 — 14x + 49 > 0\)

В) \(x^2 — 3x + 4 > 0\)

Б) \(-3x^2 + x + 2 \leq 0\)

Г) \(-x^2 + 7x — 10 < 0\)

А) \(x^2 — 14x + 49 > 0\)
\( (x — 7)^2 > 0 \), но при \(x = 7\) равно 0, значит не всегда верно.

Б) \(-3x^2 + x + 2 \leq 0\)
Перепишем: \(3x^2 — x — 2 \geq 0\)
Дискриминант: \(D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25\)
Корни: \(x = \frac{1 \pm 5}{6}\), значит неравенство не верно для всех \(x\).

В) \(x^2 — 3x + 4 > 0\)
Дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7 < 0\)
Нет корней, парабола вверх, значит всегда > 0.

Г) \(-x^2 + 7x — 10 < 0\)
Перепишем: \(x^2 — 7x + 10 > 0\)
Дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9\)
Корни: \(x = \frac{7 \pm 3}{2}\)
Неравенство не верно для всех \(x\).

Ответ: В.

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 — 14x + 49 > 0\). Обратим внимание, что выражение \(x^2 — 14x + 49\) можно представить в виде квадрата разности: \( (x — 7)^2 \). Это важный шаг, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, он всегда больше или равен нулю. Значит, для всех значений \(x\) выражение \( (x — 7)^2 \geq 0 \).

Однако в нашем неравенстве стоит знак строго больше, то есть \( (x — 7)^2 > 0 \). Это означает, что выражение должно быть положительным, а не равным нулю. Но при \(x = 7\) значение выражения равно нулю, потому что \(7 — 7 = 0\), и тогда \(0^2 = 0\). Следовательно, при \(x = 7\) неравенство не выполняется. Таким образом, неравенство не истинно для всех значений \(x\), а только для всех, кроме \(x = 7\).

Это значит, что утверждение «для всех \(x\) верно, что \(x^2 — 14x + 49 > 0\)» — неверно, так как существует хотя бы одно значение \(x\), при котором оно не выполняется.

2) Рассмотрим неравенство \(-3x^2 + x + 2 \leq 0\). Чтобы упростить анализ, умножим обе части неравенства на \(-1\), при этом знак неравенства изменится на противоположный: \(3x^2 — x — 2 \geq 0\). Теперь нам нужно понять, для каких значений \(x\) выражение \(3x^2 — x — 2\) неотрицательно.

Для этого вычислим дискриминант квадратного трёхчлена: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\). Поскольку дискриминант положителен, у уравнения \(3x^2 — x — 2 = 0\) есть два различных действительных корня. Найдём их по формуле: \(x = \frac{1 \pm 5}{6}\), то есть \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{2}{3}\).

Парабола с положительным коэффициентом при \(x^2\) направлена вверх, значит выражение \(3x^2 — x — 2\) положительно вне интервала между корнями и отрицательно внутри. Следовательно, неравенство \(3x^2 — x — 2 \geq 0\) не выполняется для всех \(x\), а только для тех, что лежат вне интервала \(\left(-\frac{2}{3}; 1\right)\).

3) Рассмотрим неравенство \(x^2 — 3x + 4 > 0\). Сначала вычислим дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7\). Дискриминант отрицательный, значит у квадратного выражения нет действительных корней, и график параболы не пересекает ось \(x\).

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и значение выражения всегда положительно для всех \(x\). Это означает, что неравенство \(x^2 — 3x + 4 > 0\) истинно для всех действительных чисел \(x\).

4) Рассмотрим неравенство \(-x^2 + 7x — 10 < 0\). Для удобства умножим обе части на \(-1\) и поменяем знак неравенства: \(x^2 — 7x + 10 > 0\). Теперь изучим, при каких \(x\) выражение \(x^2 — 7x + 10\) положительно.

Вычислим дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9\). Корни уравнения \(x^2 — 7x + 10 = 0\) будут \(x = \frac{7 \pm 3}{2}\), то есть \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 5\).

Парабола направлена вверх, следовательно выражение положительно вне интервала \((2; 5)\) и отрицательно внутри. Значит исходное неравенство не выполняется для всех \(x\).

Ответ: В.