ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 5 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какова область определения функции \(f(x) = \frac{5}{\sqrt{8x — 4x^2}}\)?

А) \((-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\)

В) \([0; 2]\)

Б) \((-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\)

Г) \((0; 2)\)

\(f(x) = \frac{5}{\sqrt{8x — 4x^2}}\)

Подкоренное выражение должно быть больше нуля:

\(8x — 4x^2 > 0\)

Вынесем общий множитель:

\(4x(2 — x) > 0\)

Чтобы произведение было положительным, нужно:

\(4x > 0\) и \(2 — x > 0\)

Это значит:

\(x > 0\) и \(x < 2\)

Область определения: \(0 < x < 2\)

Ответ: Г.

Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{5}{\sqrt{8x — 4x^{2}}}\). Чтобы эта функция имела смысл, необходимо, чтобы выражение под корнем было положительным числом, так как квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён, а также знаменатель не должен равняться нулю, иначе функция будет не определена. Значит, нам нужно найти все такие значения \(x\), при которых выражение \(8x — 4x^{2}\) строго больше нуля.

Запишем неравенство: \(8x — 4x^{2} > 0\). Чтобы решить его, сначала упростим выражение, вынеся общий множитель: \(4x(2 — x) > 0\). Теперь у нас произведение двух множителей: \(4x\) и \(2 — x\). Для того чтобы произведение было положительным, нужно, чтобы оба множителя были одновременно положительными или одновременно отрицательными. Рассмотрим эти два случая отдельно.

В первом случае, когда оба множителя положительны, имеем: \(4x > 0\) и \(2 — x > 0\). Из первого неравенства следует, что \(x > 0\), а из второго — \(x < 2\). Значит, в этом случае \(x\) лежит между нулём и двумя. Во втором случае, когда оба множителя отрицательны, должно выполняться \(4x < 0\) и \(2 — x < 0\). Из первого следует \(x < 0\), а из второго — \(x > 2\). Эти два условия не могут быть выполнены одновременно, поэтому второй случай не подходит. Значит, область определения функции — все \(x\), которые удовлетворяют условию \(0 < x < 2\).

Таким образом, мы нашли, что функция определена только на промежутке от нуля до двух, не включая сами точки \(0\) и \(2\), так как в этих точках подкоренное выражение равно нулю, и знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, область определения функции можно записать в виде интервала \( (0; 2) \). Среди предложенных вариантов правильным является вариант Г.