ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 7 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пары чисел \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) являются решениями системы уравнений

\[\begin{cases} y — x = 2, \\xy — y = 10.\end{cases}\]

Чему равно значение выражения \(x_1 y_1 + x_2 y_2\)?

А) 23

Б) 7

В) 35

Г) -26

Дано:
\( y — x = 2 \), значит \( y = x + 2 \).
Подставим во второе уравнение:
\( x(x + 2) — (x + 2) = 10 \),
\( x^2 + 2x — x — 2 = 10 \),
\( x^2 + x — 12 = 0 \).

Дискриминант:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).

Корни:
\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \),
\( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \).

Найдем \( y \):
\( y_1 = -4 + 2 = -2 \),
\( y_2 = 3 + 2 = 5 \).

Вычислим:
\( x_1 y_1 + x_2 y_2 = (-4)(-2) + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23 \).

Ответ: А.

Рассмотрим систему уравнений: \( y — x = 2 \) и \( xy — y = 10 \). Первое уравнение выражает связь между переменными \( x \) и \( y \), и его можно переписать так, чтобы выразить одну переменную через другую. Выразим \( y \) через \( x \), прибавив \( x \) к обеим частям уравнения: \( y = x + 2 \). Это важно, потому что теперь мы можем подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной переменной.

Подставим \( y = x + 2 \) во второе уравнение \( xy — y = 10 \). Получим: \( x(x + 2) — (x + 2) = 10 \). Раскроем скобки: \( x^2 + 2x — x — 2 = 10 \). Далее объединим подобные члены: \( x^2 + x — 2 = 10 \). Чтобы привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, перенесём 10 в левую часть, изменив знак: \( x^2 + x — 12 = 0 \). Теперь у нас есть классическое квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Для решения уравнения \( x^2 + x — 12 = 0 \) вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -12 \). Подставляем значения: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Корни найдём по формуле: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2} \). Следовательно, \( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \).

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждого корня \( x \), используя формулу \( y = x + 2 \). Для \( x_1 = -4 \) получаем \( y_1 = -4 + 2 = -2 \), а для \( x_2 = 3 \) — \( y_2 = 3 + 2 = 5 \). Таким образом, решения системы: \( (-4, -2) \) и \( (3, 5) \).

В заключение найдём сумму произведений \( x_1 y_1 + x_2 y_2 \). Подставим найденные значения: \( (-4)(-2) + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23 \). Это и есть искомое значение. Ответ: А.