ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 9 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько общих точек имеют графики уравнений

\((x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 10\) и \((x + 2)^2 + (y — 6)^2 = 4\)?

А) 0

Б) 4

В) 2

Г) 1

Даны окружности с уравнениями:
\((x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 10\), центр \((1, 2)\), радиус \(R_1 = \sqrt{10}\).
\((x + 2)^2 + (y — 6)^2 = 4\), центр \((-2, 6)\), радиус \(R_2 = 2\).

Расстояние между центрами:
\(d = \sqrt{(1 — (-2))^2 + (2 — 6)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

Сумма радиусов:
\(R_1 + R_2 = \sqrt{10} + 2 \approx 3{,}16 + 2 = 5{,}16\).

Разность радиусов:
\(|R_1 — R_2| = |\sqrt{10} — 2| \approx |3{,}16 — 2| = 1{,}16\).

Поскольку \(1{,}16 < 5 < 5{,}16\), окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: В.

1. В задаче даны два уравнения окружностей: первая окружность с центром в точке \(C_1 = (1, 2)\) и уравнением \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 10\), а вторая окружность с центром \(C_2 = (-2, 6)\) и уравнением \((x + 2)^2 + (y — 6)^2 = 4\). Из уравнений можно определить радиусы окружностей: для первой радиус равен \(R_1 = \sqrt{10}\), так как уравнение окружности имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\), а для второй радиус равен \(R_2 = \sqrt{4} = 2\).

2. Чтобы понять, сколько точек пересечения у этих окружностей, нужно найти расстояние между их центрами. Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле \(d = \sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2}\). Подставляя значения центров, получаем \(d = \sqrt{(1 — (-2))^2 + (2 — 6)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Это расстояние показывает, насколько далеко расположены центры окружностей друг от друга.

3. Теперь сравним это расстояние с суммой и разностью радиусов. Сумма радиусов равна \(R_1 + R_2 = \sqrt{10} + 2 \approx 3{,}16 + 2 = 5{,}16\), а разность радиусов — это модуль разницы \( |R_1 — R_2| = |\sqrt{10} — 2| \approx |3{,}16 — 2| = 1{,}16\). Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то окружности не пересекаются и лежат отдельно. Если оно меньше разницы радиусов, одна окружность находится внутри другой без пересечений. В нашем случае \(1{,}16 < 5 < 5{,}16\), то есть расстояние между центрами больше разности радиусов и меньше суммы радиусов. Это значит, что окружности пересекаются ровно в двух точках.

4. Таким образом, по свойствам расположения окружностей на плоскости, при условии \( |R_1 — R_2| < d < R_1 + R_2 \) окружности имеют две точки пересечения. Этот факт подтверждает, что данные окружности не касаются друг друга в одной точке и не лежат одна внутри другой без пересечений, а именно пересекаются в двух разных точках.

5. Подводя итог, можно сказать, что для данных окружностей с центрами в точках \( (1, 2) \) и \( (-2, 6) \) и радиусами \( \sqrt{10} \) и \( 2 \) расстояние между центрами равно 5, что удовлетворяет условию существования двух точек пересечения. Следовательно, ответ на задачу — окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: В.