ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 4 «Проверьте себя» Номер 8 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стул стоил 1500 р. Сначала его цену снизили, а потом повысили на одно и то же количество процентов. После этого стул стал стоить 1440 р. На сколько процентов изменяли каждый раз цену стула?

А) на 20 % Б) на 15 % В) на 10 % Г) на 18 %

Пусть цену меняли на \(x\%\). Тогда после снижения цена стала \(1500 \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)\), а после повышения — \(1500 \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\). Это равно 1440 р. Упростим выражение: \(\left(1 — \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2\). Таким образом, \(1500 \cdot \left(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2\right) = 1440\). Разделим на 1500: \(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2 = \frac{1440}{1500} = 0.96\). Тогда \(\left(\frac{x}{100}\right)^2 = 1 — 0.96 = 0.04\). Извлечем корень: \(\frac{x}{100} = 0.2\), откуда \(x = 20\). Ответ: А) на 20 %.

1. Рассмотрим задачу о стуле, который изначально стоил 1500 рублей. Сначала его цену снизили на определенный процент, а затем повысили на тот же самый процент. В результате этих изменений цена стула стала равна 1440 рублям. Нам нужно определить, на сколько процентов каждый раз изменяли цену стула, выбрав правильный ответ из предложенных вариантов: А) 20%, Б) 15%, В) 10%, Г) 18%.

2. Для решения задачи введем переменную \(x\), которая будет обозначать процент изменения цены в каждом случае (как при снижении, так и при повышении). Процент выражается в долях, поэтому \(x\%\) можно записать как \(\frac{x}{100}\). Это позволит нам работать с десятичными дробями в вычислениях.

3. Изначальная цена стула составляет 1500 рублей. После снижения цены на \(x\%\) новая цена будет равна \(1500 \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)\). Здесь \(\left(1 — \frac{x}{100}\right)\) отражает уменьшение цены на заданный процент: если, например, \(x = 20\), то цена уменьшается на 20%, и остается 80% от изначальной, то есть \(1 — 0.2 = 0.8\).

4. Далее, после снижения цены, ее повышают на тот же процент \(x\%\). Новая цена после повышения будет равна \(1500 \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\). Здесь \(\left(1 + \frac{x}{100}\right)\) отражает увеличение цены на заданный процент. Таким образом, мы сначала умножаем на коэффициент снижения, а затем на коэффициент повышения.

5. Упростим выражение для итоговой цены. Заметим, что \(\left(1 — \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\) является разностью квадратов: \(\left(1\right)^2 — \left(\frac{x}{100}\right)^2 = 1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2\). Поэтому итоговая цена стула после двух изменений будет равна \(1500 \cdot \left(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2\right)\).

6. По условию задачи, после всех изменений цена стула стала равна 1440 рублям. Таким образом, мы можем составить уравнение: \(1500 \cdot \left(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2\right) = 1440\). Это уравнение связывает процент изменения \(x\) с конечной ценой.

7. Чтобы решить это уравнение, сначала разделим обе части на 1500, чтобы избавиться от множителя: \(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2 = \frac{1440}{1500}\). Вычислим правую часть: \(\frac{1440}{1500} = 0.96\). Таким образом, уравнение принимает вид: \(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0.96\).

8. Теперь вычтем 0.96 из 1, чтобы изолировать член с \(x\): \(\left(\frac{x}{100}\right)^2 = 1 — 0.96 = 0.04\). Мы получили, что квадрат отношения \(\frac{x}{100}\) равен 0.04.

9. Чтобы найти \(\frac{x}{100}\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(\frac{x}{100} = \sqrt{0.04} = 0.2\). Умножим обе части на 100, чтобы определить \(x\): \(x = 0.2 \cdot 100 = 20\). Таким образом, процент изменения цены составляет 20%.

10. Проверим правильность ответа, сравнив его с предложенными вариантами: А) 20%, Б) 15%, В) 10%, Г) 18%. Наше значение \(x = 20\) соответствует варианту А. Для дополнительной проверки подставим \(x = 20\) в исходное выражение: снижение на 20% дает цену \(1500 \cdot 0.8 = 1200\), а повышение на 20% дает \(1200 \cdot 1.2 = 1440\), что совпадает с условием задачи. Ответ: А) на 20%.