ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 11 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия \((a_n)\), если \(a_1 = 41\) и \(a_2 = 38\)?
А) 13
Б) 14
В) 15
Г) 16

Для арифметической прогрессии с \(a_1 = 41\), \(a_2 = 38\) разность \(d = a_2 — a_1 = 38 — 41 = -3\). Формула \(n\)-го члена: \(a_n = a_1 + d(n-1) = 41 — 3(n-1)\). Положительные члены удовлетворяют условию \(a_n > 0\), то есть \(41 — 3(n-1) > 0\). Решая неравенство: \(41 > 3(n-1)\), \(n-1 < \frac{41}{3}\), \(n-1 < 13.\overline{6}\), \(n < 14.\overline{6}\). Поскольку \(n\) — целое число, максимальное значение \(n = 14\). Ответ: 14.

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, для которой задано, что первый член \(a_1 = 41\), а второй член \(a_2 = 38\). Наша задача — определить, сколько положительных членов содержит эта прогрессия, то есть найти количество членов \(a_n\), для которых выполняется условие \(a_n > 0\).

2. Сначала определим разность арифметической прогрессии \(d\). Разность между последовательными членами прогрессии вычисляется как \(d = a_2 — a_1\). Подставим значения: \(d = 38 — 41 = -3\). Таким образом, разность прогрессии отрицательная, что означает, что члены прогрессии уменьшаются.

3. Общая формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии имеет вид \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Подставим известные значения \(a_1 = 41\) и \(d = -3\): \(a_n = 41 + (-3)(n-1)\), что упрощается до \(a_n = 41 — 3(n-1)\).

4. Теперь сформулируем условие для положительных членов прогрессии: \(a_n > 0\). Подставим выражение для \(a_n\): \(41 — 3(n-1) > 0\). Решим это неравенство шаг за шагом, чтобы найти значения \(n\), при которых члены прогрессии остаются положительными.

5. Упростим неравенство \(41 — 3(n-1) > 0\). Раскроем скобки: \(41 — 3n + 3 > 0\), что дает \(44 — 3n > 0\). Перенесем \(3n\) в правую часть: \(44 > 3n\). Разделим обе части на 3: \(\frac{44}{3} > n\), или \(n < \frac{44}{3}\). 6. Вычислим числовое значение \(\frac{44}{3}\): \(44 \div 3 = 14.\overline{6}\), то есть \(n < 14.\overline{6}\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом (так как это номер члена прогрессии), наибольшее возможное значение \(n\) равно 14, так как \(n = 15\) уже превысит этот предел. 7. Проверим значение \(a_n\) при \(n = 14\). Подставим \(n = 14\) в формулу: \(a_{14} = 41 - 3(14-1) = 41 - 3 \cdot 13 = 41 - 39 = 2\). Значение \(a_{14} = 2 > 0\), что удовлетворяет условию положительности.

8. Теперь проверим значение при \(n = 15\): \(a_{15} = 41 — 3(15-1) = 41 — 3 \cdot 14 = 41 — 42 = -1\). Значение \(a_{15} = -1 < 0\), что уже не удовлетворяет условию положительности. Таким образом, начиная с \(n = 15\), члены прогрессии становятся отрицательными. 9. На основании вычислений заключаем, что положительными являются члены прогрессии с номерами от \(n = 1\) до \(n = 14\). Следовательно, общее количество положительных членов равно 14. 10. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов (А) 13, (Б) 14, (В) 15, (Г) 16, видим, что правильный ответ — 14, что соответствует варианту Б.