ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 13 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_2 = 24\), \(b_5 = -3\)?

А) 24

Б) 48

В) -96

Г) -32

Сумма бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\) равна \(-32\).

Краткое решение: дана геометрическая прогрессия с \(b_2 = 24\) и \(b_5 = -3\). Используем формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), откуда \(b_5 = b_2 \cdot q^{3}\). Подставляем значения: \(-3 = 24 \cdot q^{3}\), откуда \(q^{3} = -\frac{1}{8}\), следовательно, \(q = -\frac{1}{2}\). Находим \(b_1\): из \(b_2 = b_1 \cdot q\), получаем \(24 = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})\), значит \(b_1 = -48\). Сумма бесконечной прогрессии по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\): \(S = \frac{-48}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{-48}{\frac{3}{2}} = -32\).

Ответ: Г.

1. Для решения задачи о сумме бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\) нам даны значения \(b_2 = 24\) и \(b_5 = -3\). Наша цель — найти сумму бесконечной прогрессии, если она сходится, и выбрать правильный ответ из предложенных вариантов: А) 24, Б) 48, В) -96, Г) -32.

2. Напомним, что геометрическая прогрессия определяется формулой \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где \(b_1\) — первый член прогрессии, а \(q\) — знаменатель прогрессии. Для бесконечной геометрической прогрессии сумма вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), при условии, что \(|q| < 1\), иначе сумма не существует.

3. Используем данные условия. Мы знаем, что \(b_5 = b_2 \cdot q^{3}\), так как разница в индексах между пятым и вторым членами составляет 3, и каждый последующий член получается умножением предыдущего на \(q\). Подставим значения: \(-3 = 24 \cdot q^{3}\).

4. Решим уравнение для \(q^{3}\): \(q^{3} = \frac{-3}{24} = -\frac{1}{8}\). Чтобы найти \(q\), извлечем кубический корень: \(q = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}\). Таким образом, знаменатель прогрессии равен \(q = -\frac{1}{2}\).

5. Проверим условие сходимости прогрессии. Так как \(|q| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1\), то прогрессия сходится, и мы можем вычислить её сумму.

6. Теперь найдём первый член прогрессии \(b_1\). Используем формулу для второго члена: \(b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q\). Подставим значения: \(24 = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\). Отсюда \(b_1 = 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} = 24 \cdot (-2) = -48\).

7. Убедимся, что найденные значения корректны, проверив \(b_5\). По формуле \(b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^{4}\). Подставим: \(b_5 = -48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{4}\). Так как \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}\), то \(b_5 = -48 \cdot \frac{1}{16} = -3\), что совпадает с условием задачи.

8. Перейдём к вычислению суммы бесконечной прогрессии. Формула суммы: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{-48}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-48}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-48}{\frac{3}{2}}\).

9. Упростим выражение: \(\frac{-48}{\frac{3}{2}} = -48 \cdot \frac{2}{3} = -32\). Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(-32\).

10. Сравним полученный результат с предложенными вариантами: А) 24, Б) 48, В) -96, Г) -32. Наш результат совпадает с вариантом Г) -32. Ответ: Г.