ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 15 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и меньших 120.

А) 810

Б) 702

В) 819

Г) 882

Сумма всех натуральных чисел, кратных 9 и меньших 120, находится как сумма арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 9\), общим разностью \(d = 9\) и количеством членов \(n = 13\) (так как \(9 \cdot 13 = 117 < 120\), а \(9 \cdot 14 = 126 > 120\)). Формула суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), где \(a_n = 9 \cdot 13 = 117\). Тогда \(S_{13} = \frac{13}{2} \cdot (9 + 117) = \frac{13}{2} \cdot 126 = 13 \cdot 63 = 819\). Ответ: В) 819.

1. Для решения задачи о нахождении суммы всех натуральных чисел, кратных 9 и меньших 120, мы используем понятие арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на постоянную величину, называемую разностью прогрессии.

2. В данном случае числа, кратные 9, образуют арифметическую прогрессию, где первый член \(a_1 = 9\), а разность прогрессии \(d = 9\). Нам нужно найти все члены этой прогрессии, меньшие 120, и вычислить их сумму.

3. Сначала определим количество членов прогрессии. Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + d \cdot (n — 1)\). Подставим значения: \(a_n = 9 + 9 \cdot (n — 1) = 9n\). Условие задачи требует, чтобы \(a_n < 120\), то есть \(9n < 120\). Решив это неравенство, получаем \(n < \frac{120}{9} \approx 13.333\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом, максимальное значение \(n = 13\).

4. Проверим значение \(a_n\) при \(n = 13\): \(a_{13} = 9 \cdot 13 = 117\), что меньше 120. При \(n = 14\): \(a_{14} = 9 \cdot 14 = 126\), что больше 120, значит, \(n = 13\) — это последний член прогрессии, удовлетворяющий условию.

5. Теперь у нас есть все данные: первый член \(a_1 = 9\), последний член \(a_{13} = 117\), количество членов \(n = 13\). Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\).

6. Подставим значения в формулу: \(S_{13} = \frac{13}{2} \cdot (9 + 117) = \frac{13}{2} \cdot 126\). Сначала вычислим \(126 \cdot \frac{13}{2}\). Для упрощения можно представить это как \(126 \cdot 13 \cdot \frac{1}{2}\). Вычислим \(126 \cdot 13\): \(126 \cdot 10 = 1260\), \(126 \cdot 3 = 378\), итого \(1260 + 378 = 1638\). Теперь разделим на 2: \(1638 \cdot \frac{1}{2} = 819\).

7. Таким образом, сумма всех членов прогрессии равна \(S_{13} = 819\). Можно также использовать альтернативную формулу суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot a_1 + d \cdot (n — 1))\). Подставим значения: \(S_{13} = \frac{13}{2} \cdot (2 \cdot 9 + 9 \cdot (13 — 1)) = \frac{13}{2} \cdot (18 + 9 \cdot 12) = \frac{13}{2} \cdot (18 + 108) =\)
\(= \frac{13}{2} \cdot 126 = 819\). Результат совпадает.

8. Проверим правильность вычислений, перечислив все члены прогрессии: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117. Их количество — 13, что соответствует нашим расчетам. Суммируя их попарно (первый с последним и т.д.), получаем: \(9 + 117 = 126\), \(18 + 108 = 126\), \(27 + 99 = 126\), \(36 + 90 = 126\), \(45 + 81 = 126\), \(54 + 72 = 126\), и средний член 63. Итого 6 пар по 126 плюс 63: \(6 \cdot 126 = 756\), \(756 + 63 = 819\). Результат снова подтверждается.

9. Сравнивая полученную сумму с предложенными вариантами (А) 810, Б) 702, В) 819, Г) 882), видим, что правильный ответ — В) 819. Это полностью совпадает с примером решения, представленным в задании.

10. Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 9 и меньших 120, равна 819. Ответ: В) 819.