ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 18 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком положительном значении \(x\) значения выражений \(x + 1\), \(3x — 1\) и \(2x + 10\) являются последовательными членами геометрической прогрессии?

А) 1,5

Б) 3

В) 4

Г) такого значения не существует

Для геометрической прогрессии выполняется условие \((3x — 1)^2 = (x + 1)(2x + 10)\). Раскроем уравнение: \((3x — 1)^2 = 9x^2 — 6x + 1\), а \((x + 1)(2x + 10) = 2x^2 + 12x + 10\). Приравняем: \(9x^2 — 6x + 1 = 2x^2 + 12x + 10\), приведем к стандартному виду: \(7x^2 — 18x — 9 = 0\). Решаем через дискриминант: \(D = (-18)^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 324 + 252 = 576\), \(\sqrt{D} = 24\). Корни: \(x_1 = \frac{18 + 24}{14} = 3\), \(x_2 = \frac{18 — 24}{14} = -\frac{3}{7}\). Так как нужно положительное значение, подходит \(x = 3\). Ответ: Б) 3.

18. При каком положительном значении \(x\) значения выражений \(x + 1\), \(3x — 1\) и \(2x + 10\) являются последовательными членами геометрической прогрессии? Варианты ответа: А) 1,5; Б) 3; В) 4; Г) такого значения не существует.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойством геометрической прогрессии, согласно которому квадрат среднего члена равен произведению двух соседних членов. В данном случае, если \(b_1 = x + 1\), \(b_2 = 3x — 1\) и \(b_3 = 2x + 10\), то должно выполняться равенство \((b_2)^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставим выражения: \((3x — 1)^2 = (x + 1) \cdot (2x + 10)\).

Раскроем левую часть уравнения. Квадрат бинома \((3x — 1)^2\) равен \(9x^2 — 6x + 1\), так как \((3x)^2 = 9x^2\), удвоенное произведение \(-1 \cdot 3x = -6x\), и квадрат \(-1\) равен \(1\).

Теперь раскроем правую часть уравнения. Произведение \((x + 1) \cdot (2x + 10)\) вычисляется как \(x \cdot 2x + x \cdot 10 + 1 \cdot 2x + 1 \cdot 10 = 2x^2 + 10x + 2x + 10 = 2x^2 + 12x + 10\).

Приравняем левую и правую части: \(9x^2 — 6x + 1 = 2x^2 + 12x + 10\). Чтобы привести уравнение к стандартному виду, перенесем все члены в левую часть: \(9x^2 — 6x + 1 — 2x^2 — 12x — 10 = 0\). Сложим подобные слагаемые: \(9x^2 — 2x^2 = 7x^2\), \(-6x — 12x = -18x\), \(1 — 10 = -9\). Получаем квадратное уравнение: \(7x^2 — 18x — 9 = 0\).

Для решения этого уравнения вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 7\), \(b = -18\), \(c = -9\). Подставим значения: \(D = (-18)^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 324 + 252 = 576\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни уравнения с помощью формулы \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(x = \frac{18 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 7} = \frac{18 \pm 24}{14}\). Рассчитаем два возможных значения: первое \(x_1 = \frac{18 + 24}{14} = \frac{42}{14} = 3\), второе \(x_2 = \frac{18 — 24}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}\).

Поскольку в условии задачи требуется найти положительное значение \(x\), нас устраивает только \(x = 3\). Проверим, действительно ли при \(x = 3\) выражения образуют геометрическую прогрессию. Подставим \(x = 3\): \(b_1 = 3 + 1 = 4\), \(b_2 = 3 \cdot 3 — 1 = 8\), \(b_3 = 2 \cdot 3 + 10 = 16\). Теперь проверим условие \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\): \(8^2 = 64\), а \(4 \cdot 16 = 64\). Условие выполняется, значит, \(x = 3\) является решением.

Рассмотрим варианты ответа. При \(x = 1,5\): \(b_1 = 1,5 + 1 = 2,5\), \(b_2 = 3 \cdot 1,5 — 1 = 3,5\), \(b_3 = 2 \cdot 1,5 + 10 = 13\). Проверяем: \(3,5^2 = 12,25\), а \(2,5 \cdot 13 = 32,5\), не равно, значит, не подходит. При \(x = 4\): \(b_1 = 4 + 1 = 5\), \(b_2 = 3 \cdot 4 — 1 = 11\), \(b_3 = 2 \cdot 4 + 10 = 18\). Проверяем: \(11^2 = 121\), а \(5 \cdot 18 = 90\), не равно, значит, тоже не подходит. Таким образом, единственное положительное значение — \(x = 3\).

Ответ: Б) 3.