ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 2 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какая из данных последовательностей является геометрической прогрессией?

А) 3, 6, 9, 12

Б) 3, 5, 7, 14

В) 3, 6, 12, 24

Г) 5, 8, 12, 16

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (знаменатель прогрессии \(q\)).

— Для А) 3, 6, 9, 12: \(\frac{6}{3} = 2\), \(\frac{9}{6} = 1.5\), \(\frac{12}{9} = \frac{4}{3}\). Знаменатель не постоянен, это не геометрическая прогрессия.
— Для Б) 3, 5, 7, 14: \(\frac{5}{3} \approx 1.67\), \(\frac{7}{5} = 1.4\), \(\frac{14}{7} = 2\). Знаменатель не постоянен, это не геометрическая прогрессия.
— Для В) 3, 6, 12, 24: \(\frac{6}{3} = 2\), \(\frac{12}{6} = 2\), \(\frac{24}{12} = 2\). Знаменатель постоянен (\(q = 2\)), это геометрическая прогрессия.
— Для Г) 5, 8, 12, 16: \(\frac{8}{5} = 1.6\), \(\frac{12}{8} = 1.5\), \(\frac{16}{12} \approx 1.33\). Знаменатель не постоянен, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: В.

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем прогрессии \(q\). Иными словами, если \(a_1\) — первый член прогрессии, то любой член \(a_n\) можно выразить через формулу \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), где \(n\) — номер члена последовательности. Ключевое условие для определения геометрической прогрессии — постоянство отношения между соседними членами, то есть для всех \(n\) должно выполняться равенство \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = q\).

Рассмотрим варианты, приведённые в условии. Для варианта А) последовательность 3, 6, 9, 12. Найдём отношения между соседними членами: \(\frac{6}{3} = 2\), \(\frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5\), \(\frac{12}{9} = \frac{4}{3} \approx 1.33\). Видно, что значения отношений не совпадают, они меняются от 2 до 1.33. Это означает, что знаменатель прогрессии \(q\) не постоянен, следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией. Она может быть арифметической или какой-то другой, но не геометрической.

Для варианта Б) последовательность 3, 5, 7, 14. Аналогично вычислим отношения: \(\frac{5}{3} \approx 1.67\), \(\frac{7}{5} = 1.4\), \(\frac{14}{7} = 2\). Здесь также отношение между соседними членами меняется, оно не равно одному и тому же числу. Следовательно, этот ряд не является геометрической прогрессией. Для геометрической прогрессии все отношения должны быть равны, а здесь они разные, что исключает вариант Б.

Вариант В) — последовательность 3, 6, 12, 24. Проверим отношение: \(\frac{6}{3} = 2\), \(\frac{12}{6} = 2\), \(\frac{24}{12} = 2\). Все отношения равны 2, то есть знаменатель прогрессии \(q = 2\) — постоянное число. Это строго соответствует определению геометрической прогрессии, потому что каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число 2. Следовательно, вариант В является геометрической прогрессией.

Наконец, рассмотрим вариант Г) с последовательностью 5, 8, 12, 16. Отношения между соседними членами: \(\frac{8}{5} = 1.6\), \(\frac{12}{8} = 1.5\), \(\frac{16}{12} \approx 1.33\). Эти значения не совпадают и уменьшаются. Это значит, что знаменатель прогрессии \(q\) не постоянен, и данная последовательность не является геометрической прогрессией.

Таким образом, из всех предложенных вариантов только последовательность под буквой В) удовлетворяет условию постоянного знаменателя прогрессии и является геометрической прогрессией с \(q = 2\).