Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 713 Мерзляк — Подробные Ответы
Из вершины прямого угла треугольника ABC опустили высоту CH на гипотенузу AB. Докажите, что два треугольника, образовавшиеся при этом (ΔAHC и ΔBHC), и исходный треугольник ΔACB имеют соответственно равные острые углы.
Дано:
∠ACB = 90°;
CH ⟂ AB (H — основание высоты).
Доказать: ΔAHC ∼ ΔBHC ∼ ΔACB (острые углы попарно равны).
1) В прямоугольном ΔAHC угол при H прямой: ∠AHC = 90°. Острые углы дополняют его до 90°, поэтому
∠ACH + ∠CAH = 90°. Кроме того, в исходном ΔACB острые углы тоже дополняют прямой угол: ∠A + ∠B = 90°.
2) Сравним острые углы ΔAHC с углами ΔACB:
∠ACH = 90° − ∠A = ∠B;
∠CAH = 90° − ∠B = ∠A.
Значит, ΔAHC и ΔACB имеют попарно равные острые углы ⇒ ΔAHC ∼ ΔACB.
3) Аналогично рассмотрим прямоугольный ΔBHC (∠BHC = 90°). Его острые углы:
∠BCH = 90° − ∠B = ∠A;
∠CBH = 90° − ∠A = ∠B.
Следовательно, ΔBHC и ΔACB также имеют попарно равные острые углы ⇒ ΔBHC ∼ ΔACB.
4) Из п.2 и п.3 вытекает, что острые углы треугольников ΔAHC, ΔBHC и ΔACB попарно равны, то есть
ΔAHC ∼ ΔBHC ∼ ΔACB. Что и требовалось доказать.
Дано:
∠ACB = 90°;
CH ⟂ AB (H — основание высоты).
Доказать: ΔAHC ∼ ΔBHC ∼ ΔACB (острые углы попарно равны).
Шаг 1. Связь «дополнительных» углов к 90°.
Поскольку CH ⟂ AB, каждый острый угол в прямоугольных треугольниках AHC и BHC является дополнением до 90° соответствующего угла при той же стороне в большом треугольнике ABC:
— угол между AC и CH (то есть ∠ACH) дополняет до 90° угол между AC и AB (то есть ∠A);
— угол между CA и AH (то есть ∠CAH) дополняет до 90° угол между CB и CA (то есть ∠B);
— угол между BC и CH (то есть ∠BCH) дополняет до 90° угол между BA и BC (то есть ∠B);
— угол между CB и BH (то есть ∠CBH) дополняет до 90° угол между CA и CB (то есть ∠A).
Шаг 2. Явные равенства острых углов.
В прямоугольном ΔACB верно ∠A + ∠B = 90°. Тогда, используя дополнение до 90°, получаем:
— ∠ACH = 90° − ∠A = ∠B;
— ∠CAH = 90° − ∠B = ∠A;
— ∠BCH = 90° − ∠B = ∠A;
— ∠CBH = 90° − ∠A = ∠B.
Шаг 3. Подобие треугольников с исходным треугольником.
Для ΔAHC и ΔACB имеем пару равных острых углов: ∠ACH = ∠B и ∠CAH = ∠A. Следовательно, ΔAHC ∼ ΔACB (по признаку AA — по двум углам).
Аналогично, для ΔBHC и ΔACB: ∠BCH = ∠A и ∠CBH = ∠B ⇒ ΔBHC ∼ ΔACB (по AA).
Шаг 4. Равенство острых углов между малыми треугольниками.
Из п.3 следует, что острые углы в ΔAHC и ΔBHC совпадают с ∠A и ∠B исходного треугольника, значит и между собой они попарно равны: ∠ACH = ∠CBH = ∠B и ∠CAH = ∠BCH = ∠A. Следовательно, ΔAHC ∼ ΔBHC.
Итог. Оба образовавшихся треугольника ΔAHC и ΔBHC имеют соответственно те же острые углы, что и исходный прямоугольный треугольник ΔACB: выполнено ΔAHC ∼ ΔBHC ∼ ΔACB. Что и требовалось доказать.
