Учебник «Математика» для 6-го класса, написанный Мерзляком и Полонским, стал неотъемлемой частью образовательного процесса для многих школьников. Он предлагает доступное и увлекательное изложение материала, что делает изучение математики интересным и познавательным.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 578 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому росту двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.
Если все гномы разного роста, тогда среди них есть тот, кто выше остальных. Но его рост не может быть равен среднему арифметическому росту двух его соседей, так как среднее арифметическое всегда меньше большего из двух чисел. Следовательно, все гномы были одного роста.
Доказательство:
- Обозначим рост каждого гнома через \( h_1, h_2, \dots, h_7 \), где индексы соответствуют их порядковому номеру по кругу.
- Поскольку гномы сидят вокруг костра, гномы \( h_1 \) и \( h_7 \) также являются соседями.
Согласно условию задачи, рост любого гнома равен среднему арифметическому росту двух его соседей. Это можно записать в виде системы уравнений:
\[
h_1 = \frac{h_7 + h_2}{2}, \quad
h_2 = \frac{h_1 + h_3}{2}, \quad
h_3 = \frac{h_2 + h_4}{2}, \quad \dots, \quad
h_7 = \frac{h_6 + h_1}{2}.
\]
Перепишем каждое уравнение, выразив сумму соседей:
\[
h_1 — \frac{h_7 + h_2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2h_1 = h_7 + h_2,
\]
\[
h_2 — \frac{h_1 + h_3}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2h_2 = h_1 + h_3,
\]
и так далее для всех гномов.
Теперь заметим, что если мы сложим все 7 уравнений, то каждая переменная \( h_1, h_2, \dots, h_7 \) войдёт дважды (один раз с коэффициентом \( +1 \) и один раз с коэффициентом \( -1 \)).
Таким образом, сумма всех уравнений даст:
\[
0 = 0.
\]
Это говорит о том, что система уравнений имеет решение, при котором все \( h_1, h_2, \dots, h_7 \) равны между собой.
Обозначим общий рост всех гномов через \( h \). Тогда из любого уравнения видно, что:
\[
h = h.
\]
Вывод: Все гномы были одного роста.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!