ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1427 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте отрезки AB и CD найдите координаты точек пересечения этих отрезков, если A (–5; –2), B (1; 4), C (–3; 2), D (2; –3).

Для нахождения точки пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\), выполняем следующие шаги:

Этап 1: Уравнения прямых

Прямая \(AB\) (через точки \(A(-5; -2)\) и \(B(1; 4)\)):

1. Угловой коэффициент:

\[
k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{4 — (-2)}{1 — (-5)} = \frac{6}{6} = 1.
\]

2. Уравнение прямой:

\[
y = x + b.
\]

Подставляем точку \(A(-5; -2)\):

\[
-2 = -5 + b
\]

\[
b = 3.
\]

Уравнение прямой \(AB\):

\[
y = x + 3.
\]

Прямая \(CD\) (через точки \(C(-3; 2)\) и \(D(2; -3)\)):

1. Угловой коэффициент:

\[
k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{-3 — 2}{2 — (-3)} = \frac{-5}{5} = -1.
\]

2. Уравнение прямой:

\[
y = -x + b.
\]

Подставляем точку \(C(-3; 2)\):

\[
2 = -(-3) + b
\]

\[
2 = 3 + b
\]

\[
b = -1.
\]

Уравнение прямой \(CD\):

\[
y = -x — 1.
\]

Этап 2: Нахождение точки пересечения прямых

Решаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
y = x + 3, \\
y = -x — 1.
\end{cases}
\]

1. Приравниваем правые части:

\[
x + 3 = -x — 1.
\]

2. Решаем уравнение:

\[
x + x = -1 — 3
\]

\[
2x = -4
\]

\[
x = -2.
\]

3. Подставляем \(x = -2\) в \(y = x + 3\):

\[
y = -2 + 3 = 1.
\]

Этап 3: Проверка принадлежности точке отрезкам

1. Для отрезка \(AB\): проверяем, лежит ли \(x = -2\) в пределах \([-5; 1]\) и \(y = 1\) в пределах \([-2; 4]\). Условие выполняется.
2. Для отрезка \(CD\): проверяем, лежит ли \(x = -2\) в пределах \([-3; 2]\) и \(y = 1\) в пределах \([-3; 2]\). Условие выполняется.

Этап 4: Ответ

Точка пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\):

\[
E(-2; 1).
\]

Этап 1: Уравнения прямых, содержащих отрезки

Каждый отрезок лежит на прямой. Для нахождения уравнений прямых используем общее уравнение прямой:

\[
y = kx + b,
\]

где \(k\) — угловой коэффициент, \(b\) — свободный член.

1. Прямая \(AB\):
Точки \(A(-5; -2)\) и \(B(1; 4)\).

1.1. Найдём угловой коэффициент \(k\):

\[
k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{4 — (-2)}{1 — (-5)} = \frac{6}{6} = 1.
\]

1.2. Уравнение прямой:

\[
y = kx + b
\]

\[
y = x + b.
\]

1.3. Подставим координаты точки \(A(-5; -2)\), чтобы найти \(b\):

\[
-2 = (-5) + b
\]

\[
b  = -2 + 5 = 3.
\]

1.4. Уравнение прямой \(AB\):

\[
y = x + 3.
\]

2. Прямая \(CD\):
Точки \(C(-3; 2)\) и \(D(2; -3)\).

2.1. Найдём угловой коэффициент \(k\):

\[
k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{-3 — 2}{2 — (-3)} = \frac{-5}{5} = -1.
\]

2.2. Уравнение прямой:

\[
y = kx + b
\]

\[
y = -x + b.
\]

2.3. Подставим координаты точки \(C(-3; 2)\), чтобы найти \(b\):

\[
2 = -(-3) + b
\]

\[
2 = 3 + b
\]

\[
b = 2 — 3 = -1.
\]

2.4. Уравнение прямой \(CD\):

\[
y = -x — 1.
\]

Этап 2: Нахождение точки пересечения прямых

Точка пересечения прямых найдётся из системы уравнений:

\[
\begin{cases}
y = x + 3, \\
y = -x — 1.
\end{cases}
\]

1. Приравняем правые части уравнений:

\[
x + 3 = -x — 1.
\]

2. Решим уравнение относительно \(x\):

\[
x + x = -1 — 3
\]

\[
2x = -4
\]

\[
x = -2.
\]

3. Найдём \(y\), подставив \(x = -2\) в одно из уравнений (например, \(y = x + 3\)):

\[
y = -2 + 3 = 1.
\]

Точка пересечения прямых:

\[
E(-2; 1).
\]

Этап 3: Проверка принадлежности точки отрезкам

Теперь проверим, лежит ли точка \(E(-2; 1)\) на обоих отрезках \(AB\) и \(CD\).

1. Для отрезка \(AB\):
Проверяем, лежит ли \(x = -2\) в пределах \([-5; 1]\) и \(y = 1\) в пределах \([-2; 4]\).

• \(x = -2\) принадлежит промежутку \([-5; 1]\).
• \(y = 1\) принадлежит промежутку \([-2; 4]\).

Точка \(E(-2; 1)\) лежит на отрезке \(AB\).

2. Для отрезка \(CD\):
Проверяем, лежит ли \(x = -2\) в пределах \([-3; 2]\) и \(y = 1\) в пределах \([-3; 2]\).

• \(x = -2\) принадлежит промежутку \([-3; 2]\).
• \(y = 1\) принадлежит промежутку \([-3; 2]\).

Точка \(E(-2; 1)\) лежит на отрезке \(CD\).

 Этап 4: Ответ

Точка пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\):

\[
E(-2; 1).
\]