Учебник «Математика» для 6-го класса, написанный Мерзляком и Полонским, стал неотъемлемой частью образовательного процесса для многих школьников. Он предлагает доступное и увлекательное изложение материала, что делает изучение математики интересным и познавательным.
1) Структурированность: Учебник разделен на логические разделы и темы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждая глава начинается с краткого введения, которое помогает ученикам понять, что они будут изучать.
2) Разнообразие задач: В книге представлено множество упражнений различной сложности. Это позволяет учителю адаптировать задания под уровень подготовки каждого ученика, а также развивает критическое мышление.
3) Иллюстрации и графика: Учебник содержит яркие иллюстрации и схемы, которые помогают визуализировать математические концепции. Это особенно полезно для наглядного восприятия информации.
4) Практические примеры: Каждый раздел включает в себя примеры из реальной жизни, что делает математику более актуальной и понятной. Ученики могут увидеть, как математические знания применяются в повседневной жизни.
5) Дополнительные материалы: В конце каждой главы есть разделы с дополнительными заданиями и вопросами для самопроверки. Это позволяет ученикам закрепить изученный материал и подготовиться к контрольным работам.
Учебник «Математика» Мерзляка и Полонского — это не просто пособие для изучения предмета, а целый мир, в который ученики погружаются, открывая для себя удивительный мир чисел и форм. Он помогает развивать не только математические навыки, но и логическое мышление, что является важным аспектом образования.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1513 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Сторона квадрата ABCD равна 4 см. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата ABCD.
Дано:
1. Квадрат \(ABCD\) со стороной \(a = 4 \, \text{см}\).
2. Вершины нового четырёхугольника \(KLMN\) — середины сторон квадрата \(ABCD\).
3. Нужно найти площадь четырёхугольника \(KLMN\).
Решение:
1. Координаты вершин квадрата \(ABCD\):
Предположим, что квадрат расположен в системе координат следующим образом:
— \(A(0, 0)\),
— \(B(4, 0)\),
— \(C(4, 4)\),
— \(D(0, 4)\).
2. Найдём координаты середины каждой стороны:
— \(K\) — середина стороны \(AB\):
\[
K\left(\frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (2, 0).
\]
— \(L\) — середина стороны \(BC\):
\[
L\left(\frac{4 + 4}{2}, \frac{0 + 4}{2}\right) = (4, 2).
\]
— \(M\) — середина стороны \(CD\):
\[
M\left(\frac{4 + 0}{2}, \frac{4 + 4}{2}\right) = (2, 4).
\]
— \(N\) — середина стороны \(DA\):
\[
N\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (0, 2).
\]
Таким образом, координаты вершин четырёхугольника \(KLMN\):
\(K(2, 0)\), \(L(4, 2)\), \(M(2, 4)\), \(N(0, 2)\).
3. Площадь четырёхугольника \(KLMN\):
Для нахождения площади четырёхугольника воспользуемся формулой площади многоугольника через координаты его вершин:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 — (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|,
\]
где \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\), \((x_4, y_4)\) — координаты вершин четырёхугольника.
Подставим координаты \(K(2, 0)\), \(L(4, 2)\), \(M(2, 4)\), \(N(0, 2)\):
\[
S = \frac{1}{2} \left| 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 — (0 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 2) \right|.
\]
Выполним вычисления:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 4 + 16 + 4 + 0 — (0 + 4 + 0 + 4) \right|.
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| 24 — 8 \right|.
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8.
\]
Ответ:
Площадь четырёхугольника \(KLMN\) равна 8 см².
Дано:
1. Квадрат \(ABCD\) со стороной \(a = 4 \, \text{см}\).
2. Вершины нового четырёхугольника \(KLMN\) — середины сторон квадрата \(ABCD\).
3. Требуется найти площадь четырёхугольника \(KLMN\).
Этап 1. Координаты вершин квадрата \(ABCD\):
Предположим, что квадрат расположен в системе координат следующим образом:
— \(A(0, 0)\),
— \(B(4, 0)\),
— \(C(4, 4)\),
— \(D(0, 4)\).
Этап 2. Найдём координаты середины каждой стороны квадрата:
Для нахождения середины стороны квадрата используем формулу для середины отрезка:
\[
\text{Середина отрезка с концами } (x_1, y_1) \text{ и } (x_2, y_2)
\]
\[
\text{ имеет координаты } \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right).
\]
— \(K\) — середина стороны \(AB\):
\[
K\left(\frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (2, 0).
\]
— \(L\) — середина стороны \(BC\):
\[
L\left(\frac{4 + 4}{2}, \frac{0 + 4}{2}\right) = (4, 2).
\]
— \(M\) — середина стороны \(CD\):
\[
M\left(\frac{4 + 0}{2}, \frac{4 + 4}{2}\right) = (2, 4).
\]
— \(N\) — середина стороны \(DA\):
\[
N\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (0, 2).
\]
Таким образом, координаты вершин четырёхугольника \(KLMN\):
\[
K(2, 0), \, L(4, 2), \, M(2, 4), \, N(0, 2).
\]
Этап 3. Найдём площадь четырёхугольника \(KLMN\):
Для нахождения площади четырёхугольника воспользуемся формулой площади многоугольника через координаты его вершин:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 — (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|,
\]
где \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\), \((x_4, y_4)\) — координаты вершин четырёхугольника.
Подставим координаты \(K(2, 0)\), \(L(4, 2)\), \(M(2, 4)\), \(N(0, 2)\):
\[
S = \frac{1}{2} \left| 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 — (0 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 2) \right|.
\]
Выполним вычисления поэтапно:
1. Найдём сумму произведений по главной диагонали:
\[
2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 4 + 16 + 4 + 0 = 24.
\]
2. Найдём сумму произведений по побочной диагонали:
\[
0 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 0 + 4 + 0 + 4 = 8.
\]
3. Вычтем вторую сумму из первой:
\[
24 — 8 = 16.
\]
4. Найдём площадь:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8.
\]
Этап 4. Интерпретация результата:
Четырёхугольник \(KLMN\) является ромбом, так как его вершины — середины сторон квадрата, а диагонали ромба равны длине стороны квадрата (в данном случае 4 см). Площадь ромба можно также проверить через формулу:
\[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2},
\]
где \(d_1\) и \(d_2\) — длины диагоналей ромба. Диагонали равны \(4 \, \text{см}\), поэтому:
\[
S = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8.
\]
Ответ:
Площадь четырёхугольника \(KLMN\) равна 8 см².
Математика
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.