ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1516 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Начертите на координатной плоскости отрезки AB и CD такие, что A (1; –2), B (4; 4), C (5; –1), D (–1; 1). Найдите координаты точки пересечения отрезков AB и CD.

1. Уравнение прямой AB:
\(k_{AB} = \frac{4 — (-2)}{4 — 1} = 2\),
\(y = 2x — 4\).

2. Уравнение прямой CD
\(k_{CD} = \frac{1 — (-1)}{-1 — 5} = -\frac{1}{3}\),
\(y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\).

3. Точка пересечения
Приравниваем: \(2x — 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\),
\(x = 2\), \(y = 0\).

4. Ответ:
\(O(2; 0)\).

Решение задачи по нахождению точки пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\):

1. Записать уравнения прямых, на которых лежат отрезки \(AB\) и \(CD\):

Прямая задается уравнением вида:
\[
y = kx + b,
\]
где \(k\) — угловой коэффициент (наклон прямой), а \(b\) — свободный член (точка пересечения прямой с осью \(y\)).

a) Уравнение прямой \(AB\):

1. Найдем угловой коэффициент \(k_{AB}\):
\[
k_{AB} = \frac{y_B — y_A}{x_B — x_A} = \frac{4 — (-2)}{4 — 1} = \frac{6}{3} = 2.
\]

2. Подставим координаты точки \(A(1, -2)\) в уравнение \(y = kx + b\), чтобы найти \(b\):
\[
-2 = 2 \cdot 1 + b \quad \Rightarrow \quad b = -2 — 2 = -4.
\]

3. Уравнение прямой \(AB\):
\[
y = 2x — 4.
\]

b) Уравнение прямой \(CD\):

1. Найдем угловой коэффициент \(k_{CD}\):
\[
k_{CD} = \frac{y_D — y_C}{x_D — x_C} = \frac{1 — (-1)}{-1 — 5} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}.
\]

2. Подставим координаты точки \(C(5, -1)\) в уравнение \(y = kx + b\), чтобы найти \(b\):
\[
-1 = -\frac{1}{3} \cdot 5 + b \quad \Rightarrow \quad b = -1 + \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{5}{3} = \frac{2}{3}.
\]

3. Уравнение прямой \(CD\):
\[
y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.
\]

2. Найти точку пересечения прямых \(AB\) и \(CD\):

Точка пересечения двух прямых находится путем решения системы уравнений:
\[
\begin{cases}
y = 2x — 4, \\
y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.
\end{cases}
\]

a) Приравняем правые части уравнений:
\[
2x — 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.
\]

b) Уберем дроби, умножив всё на 3:
\[
3(2x — 4) = 3\left(-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\right),
\]

\[
6x — 12 = -x + 2.
\]

c) Перенесем все переменные и числа в одну сторону:
\[
6x + x = 2 + 12,
\]

\[
7x = 14.
\]

d) Найдем \(x\):
\[
x = \frac{14}{7} = 2.
\]

3. Найти \(y\)-координату точки пересечения:

Подставим \(x = 2\) в любое из уравнений прямых (например, в \(y = 2x — 4\)):

\[
y = 2 \cdot 2 — 4 = 4 — 4 = 0.
\]

4. Точка пересечения:

Координаты точки пересечения:
\[
O(2; 0).
\]

5. Проверка:

Подставим \(x = 2\), \(y = 0\) в уравнение второй прямой (\(y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\)):

\[
y = -\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0.
\]

Точка \(O(2; 0)\) действительно лежит на обеих прямых.

Ответ:
Точка пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\):
\[
O(2; 0).
\]