Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
Преимущества учебника:
- Понятное изложение теории
Авторы уделяют большое внимание теоретической части. Каждый новый параграф начинается с доступного объяснения темы, которое сопровождается примерами и иллюстрациями. Это помогает ученикам лучше понять материал, даже если тема кажется сложной на первый взгляд. - Разнообразие задач
Учебник предлагает широкий выбор заданий разного уровня сложности: от базовых упражнений для закрепления материала до задач повышенной трудности для углублённого изучения. Это делает пособие универсальным как для учеников с базовым уровнем подготовки, так и для тех, кто стремится к высоким результатам. - Практическая направленность
Многие задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что позволяет ученикам понять, как алгебра применяется на практике. Это не только делает обучение интересным, но и помогает развивать прикладное мышление. - Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные задания и тесты для самопроверки. Также в учебнике есть полезные таблицы и формулы, которые помогают систематизировать знания. - Поддержка учителей и родителей
Учебник удобен не только для учеников, но и для учителей, так как он содержит методические рекомендации по проведению уроков. Родители также могут использовать его для помощи своим детям в выполнении домашних заданий.
Учебник «Алгебра, 8 класс» Мерзляка и Полякова — это отличный инструмент для изучения математики, который сочетает в себе доступность, логичность и практическую направленность. Он помогает школьникам не только освоить алгебру, но и развить логическое мышление и умение решать задачи разного уровня сложности. Этот учебник по праву занимает лидирующие позиции среди пособий для 8-го класса.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 10.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
При каких значениях параметра a равносильны неравенства:
- 2x — a > 0 и x + 2a — 3 > 0;
- 3x + a ≤ 0 и 2x — a + 4 < 0;
- 3x — a ≥ 0 и x — a — 1 ≥ 0;
- 3x — a ≥ 0 и ax — 3 ≥ 0;
- ax ≥ 1 и 2ax > 3;
- a²x ≥ 1 и 2ax ≥ 3?
- Неравенства равносильны при a = 1,2.
- Таких значений a не существует.
- Неравенства равносильны при a = -1,5.
- Неравенства равносильны при a = 3.
- Неравенства равносильны при при a=0.
- Неравенства равносильны при a = 0 или a = 2/3.
1) 2x — a > 0 и x + 2a — 3 > 0
Рассмотрим оба неравенства:
Первое: 2x — a > 0 ⟹ x > a/2.
Второе: x + 2a — 3 > 0 ⟹ x > 3 — 2a.
Для равносильности необходимо, чтобы оба неравенства имели одинаковые решения.
Сравним границы:
a/2 = 3 — 2a.
Решим уравнение:
a/2 + 2a = 3
2,5a = 3
a = 1,2.
Ответ: при a = 1,2.
2) 3x + a ≤ 0 и 2x — a + 4 < 0
Первое: 3x + a ≤ 0 ⟹ x ≤ -a/3.
Второе: 2x — a + 4 < 0 ⟹ x < (a — 4)/2.
Для равносильности необходимо, чтобы оба неравенства имели одинаковые решения. Однако первое неравенство нестрогое, а второе строгое, поэтому таких значений a не существует.
Ответ: таких значений a не существует.
3) 3x — a ≥ 0 и x — a — 1 ≥ 0
Первое: 3x — a ≥ 0 ⟹ x ≥ a/3.
Второе: x — a — 1 ≥ 0 ⟹ x ≥ a + 1.
Для равносильности необходимо, чтобы оба неравенства имели одинаковые решения.
Сравним границы:
a/3 = a + 1.
Решим уравнение:
a/3 — a = 1
-2a/3 = 1
a = -1,5.
Ответ: при a = -1,5.
4) 3x — a ≥ 0 и ax — 3 ≥ 0
Первое: 3x — a ≥ 0 ⟹ x ≥ a/3.
Второе: ax — 3 ≥ 0 ⟹ x ≥ 3/a.
Для равносильности необходимо, чтобы оба неравенства имели одинаковые решения.
Сравним границы:
a/3 = 3/a.
Решим уравнение:
a² = 9
a = ±3.
Но a = -3 не подходит, так как a > 0.
Ответ: при a = 3.
5) ax ≥ 1 и 2ax > 3
Дано:
ax ≥ 1 и 2ax > 3.
Решение:
- Первое неравенство:
ax ≥ 1.
Отсюда:
x ≥ 1/a. - Второе неравенство:
2ax > 3.
Отсюда:
x > 3/2a.
Рассмотрим случаи:
Если a > 0:
Тогда x ≥ 1/a и x > 3/2a.
При этом, так как первое неравенство нестрогое, а второе строгое, таких значений a не существует.
Если a < 0:
Тогда x ≤ 1/a и x < 3/2a.
Аналогично, таких значений a также не существует.
Если a = 0:
Тогда первое неравенство превращается в 0x ≥ 1, а второе — в 0x > 3.
Оба неравенства не имеют решений.
Ответ: при a = 0.
6) a²x ≥ 1 и 2ax ≥ 3
Первое: a²x ≥ 1 ⟹ x ≥ 1/a² (при a ≠ 0).
Второе: 2ax ≥ 3 ⟹ x ≥ 3/(2a).
Для равносильности необходимо, чтобы оба неравенства имели одинаковые решения.
Сравним границы:
1/a² = 3/(2a).
Решим уравнение:
2a = 3a²
3a² — 2a = 0
a(3a — 2) = 0.
Решения: a = 0 или a = 2/3.
Ответ: при a = 0 или a = 2/3.
Алгебра
