Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
Преимущества учебника:
- Понятное изложение теории
Авторы уделяют большое внимание теоретической части. Каждый новый параграф начинается с доступного объяснения темы, которое сопровождается примерами и иллюстрациями. Это помогает ученикам лучше понять материал, даже если тема кажется сложной на первый взгляд. - Разнообразие задач
Учебник предлагает широкий выбор заданий разного уровня сложности: от базовых упражнений для закрепления материала до задач повышенной трудности для углублённого изучения. Это делает пособие универсальным как для учеников с базовым уровнем подготовки, так и для тех, кто стремится к высоким результатам. - Практическая направленность
Многие задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что позволяет ученикам понять, как алгебра применяется на практике. Это не только делает обучение интересным, но и помогает развивать прикладное мышление. - Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные задания и тесты для самопроверки. Также в учебнике есть полезные таблицы и формулы, которые помогают систематизировать знания. - Поддержка учителей и родителей
Учебник удобен не только для учеников, но и для учителей, так как он содержит методические рекомендации по проведению уроков. Родители также могут использовать его для помощи своим детям в выполнении домашних заданий.
Учебник «Алгебра, 8 класс» Мерзляка и Полякова — это отличный инструмент для изучения математики, который сочетает в себе доступность, логичность и практическую направленность. Он помогает школьникам не только освоить алгебру, но и развить логическое мышление и умение решать задачи разного уровня сложности. Этот учебник по праву занимает лидирующие позиции среди пособий для 8-го класса.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 11.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Решите систему неравенств:
- {8(2 — x) — 2x > 3; -3(6x — 1) — x < 2x};
- {(x + 1)/4 — (2x + 3)/3 > 1; 6(2x — 1) < 5(x — 4) — 7};
- {2(x — 3) ≤ 3x + 4(x + 1); (x — 3)(x + 3) ≤ (x — 4)² — 1};
- {2(x + 11) ≥ 3(6 — x); (x — 3)(x + 6) ≥ (x + 5)(x — 4)};
- {2x — (x + 1)/2 ≤ (x + 1)/3; (x + 5)(x — 3) + 41 ≥ (x — 6)²};
- {5x + 4 ≤ 2x — 8; (x + 2)(x — 1) ≥ (x + 3)(x — 2)};
- {(x + 2)/7 < (x + 1)/4; (x — 6)(x + 2) + 4x < x² — 49};
- {(6x + 1)/6 — (5x — 1)/5 > -1; 2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x}.
- Решаем два неравенства:
8(2 — x) — 2x > 3 → x < 1,3
-3(6x — 1) — x < 2x → x > 1/7
Ответ: (1/7; 1,3). - Решаем два неравенства:
(x + 1)/4 — (2x + 3)/3 > 1 → x < -4,2
6(2x — 1) < 5(x — 4) — 7 → x < -3
Ответ: (-∞; -4,2). - Решаем два неравенства:
2(x — 3) ≤ 3x + 4(x + 1) → x ≤ 3
(x — 3)(x + 3) ≤ (x — 4)² — 1 → x ≥ -2
Ответ: [-2; 3]. - Решаем два неравенства:
2(x + 11) ≥ 3(6 — x) → x ≥ -0,8
(x — 3)(x + 6) ≥ (x + 5)(x — 4) → x ≤ -1
Ответ: [-0,8; ∞). - Решаем два неравенства:
2x — (x + 1)/2 ≤ (x + 1)/3 → x ≤ 5/7
(x + 5)(x — 3) + 41 ≥ (x — 6)² → x ≥ 5/7
Ответ: x = 5/7. - Решаем два неравенства:
5x + 4 ≤ 2x — 8 → x ≤ -4
(x + 2)(x — 1) ≥ (x + 3)(x — 2) → x ≤ -4
Ответ: (-∞; -4]. - Решаем два неравенства:
(x + 2)/7 < (x + 1)/4 → решений нет
(x — 6)(x + 2) + 4x < x² — 49 → решений нет
Ответ: Ø. - Решаем два неравенства:
(6x + 1)/6 — (5x — 1)/5 > -1 → решений нет
2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x → решений нет
Ответ: (-∞; +∞).
1) {8(2 — x) — 2x > 3; -3(6x — 1) — x < 2x}:
Первое неравенство:
8(2 — x) — 2x > 3
16 — 8x — 2x > 3
16 — 10x > 3
-10x > -13
x < 1,3
Второе неравенство:
-3(6x — 1) — x < 2x
-18x + 3 — x < 2x
-21x + 3 < 0
-21x < -3
x > 1/7
Пересечение решений: 1/7 < x < 1,3.
Ответ: (1/7; 1,3).
2) {(x + 1)/4 — (2x + 3)/3 > 1; 6(2x — 1) < 5(x — 4) — 7}:
Первое неравенство:
(x + 1)/4 — (2x + 3)/3 > 1
Приводим к общему знаменателю:
3(x + 1) — 4(2x + 3) > 12
3x + 3 — 8x — 12 > 12
-5x — 9 > 12
-5x > 21
x < -4,2
Второе неравенство:
6(2x — 1) < 5(x — 4) — 7
12x — 6 < 5x — 20 — 7
12x — 5x < -21
7x < -21
x < -3
Пересечение решений: x < -4,2.
Ответ: (-∞; -4,2).
3) {2(x — 3) ≤ 3x + 4(x + 1); (x — 3)(x + 3) ≤ (x — 4)² — 1}:
Первое неравенство:
2(x — 3) ≤ 3x + 4(x + 1)
2x — 6 ≤ 3x + 4x + 4
2x — 6 ≤ 7x + 4
-5x ≤ 10
x ≤ 3
Второе неравенство:
(x — 3)(x + 3) ≤ (x — 4)² — 1
x² — 9 ≤ x² — 8x + 16 — 1
x² — 9 ≤ x² — 8x + 15
-9 ≤ -8x + 15
8x ≤ 24
x ≥ -2
Пересечение решений: -2 ≤ x ≤ 3.
Ответ: [-2; 3].
4) {2(x + 11) ≥ 3(6 — x); (x — 3)(x + 6) ≥ (x + 5)(x — 4)}:
Первое неравенство:
2(x + 11) ≥ 3(6 — x)
2x + 22 ≥ 18 — 3x
5x ≥ -4
x ≥ -0,8
Второе неравенство:
(x — 3)(x + 6) ≥ (x + 5)(x — 4)
x² + 6x — 3x — 18 ≥ x² — 4x + 5x — 20
x² + 3x — 18 ≥ x² + x — 20
3x — 18 ≥ x — 20
2x ≥ -2
x ≥ -1
Пересечение решений: x ≥ -0,8.
Ответ: [-0,8; ∞).
5) {2x — (x + 1)/2 ≤ (x + 1)/3; (x + 5)(x — 3) + 41 ≥ (x — 6)²}:
Система неравенств:
- 2x — (x + 1)/2 ≤ (x + 1)/3
- (x + 5)(x — 3) + 41 ≥ (x — 6)²
Решение:
- Первое неравенство:
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель — 6. Умножим обе части на 6:
6 * 2x — 6 * (x + 1)/2 ≤ 6 * (x + 1)/3
12x — 3(x + 1) ≤ 2(x + 1)
Раскроем скобки:
12x — 3x — 3 ≤ 2x + 2
Соберем все x в левой части, а числа — в правой:
12x — 3x — 2x ≤ 2 + 3
7x ≤ 5
x ≤ 5/7 - Второе неравенство:
Раскроем скобки.
Левая часть:
(x + 5)(x — 3) = x² — 3x + 5x — 15 = x² + 2x — 15
Добавим 41:
x² + 2x — 15 + 41 = x² + 2x + 26
Правая часть:
(x — 6)² = x² — 12x + 36
Теперь запишем неравенство:
x² + 2x + 26 ≥ x² — 12x + 36
Сократим x²:
2x + 26 ≥ -12x + 36
Соберем x в левой части, а числа — в правой:
2x + 12x ≥ 36 — 26
14x ≥ 10
x ≥ 5/7
Общий ответ:
Пересечение решений двух неравенств:
x ≤ 5/7 и x ≥ 5/7.
Это возможно только при x = 5/7.
Ответ: x = 5/7.
6) {5x + 4 ≤ 2x — 8; (x + 2)(x — 1) ≥ (x + 3)(x — 2)}:
Система неравенств:
- 5x + 4 ≤ 2x — 8
- (x + 2)(x — 1) ≥ (x + 3)(x — 2)
Решение:
- Первое неравенство:
5x + 4 ≤ 2x — 8
Переносим все x в левую часть, а числа — в правую:
5x — 2x ≤ -8 — 4
3x ≤ -12
x ≤ -4 - Второе неравенство:
Раскроем скобки.
Левая часть:
(x + 2)(x — 1) = x² — x + 2x — 2 = x² + x — 2
Правая часть:
(x + 3)(x — 2) = x² — 2x + 3x — 6 = x² + x — 6
Теперь запишем неравенство:
x² + x — 2 ≥ x² + x — 6
Сократим x² и x:
-2 ≥ -6
Это всегда верно, значит, решение второго неравенства — вся числовая ось.
Общий ответ:
Пересечение решений двух неравенств:
x ≤ -4 и вся числовая ось.
Ответ: (-∞; -4].
7) {(x + 2)/7 < (x + 1)/4; (x — 6)(x + 2) + 4x < x² — 49}:
Система неравенств:
- (x + 2)/7 < (x + 1)/4
- (x — 6)(x + 2) + 4x < x² — 49
Решение:
Первое неравенство:
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель — 28. Умножим обе части на 28:
28 * (x + 2)/7 < 28 * (x + 1)/4
4(x + 2) < 7(x + 1)
Раскроем скобки:
4x + 8 < 7x + 7
Соберем x в одной части, а числа — в другой:
4x — 7x < 7 — 8
-3x < -1
x > 1/3
Но это противоречит исходному неравенству, так как правая часть меньше левой. Значит, решений нет.
Второе неравенство:
Раскроем скобки.
Левая часть:
(x — 6)(x + 2) = x² + 2x — 6x — 12 = x² — 4x — 12
Добавим 4x:
x² — 4x — 12 + 4x = x² — 12
Правая часть:
x² — 49
Теперь запишем неравенство:
x² — 12 < x² — 49
Сократим x²:
-12 < -49
Это неверно, значит, решений нет.
Общий ответ:
Нет решений.
Ответ: Ø.
8) {(6x + 1)/6 — (5x — 1)/5 > -1; 2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x}:
Система неравенств:
- (6x + 1)/6 — (5x — 1)/5 > -1
- 2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x
Решение:
Первое неравенство:
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель — 30. Умножим обе части на 30:
30 * (6x + 1)/6 — 30 * (5x — 1)/5 > 30 * -1
5(6x + 1) — 6(5x — 1) > -30
30x + 5 — 30x + 6 > -30
11 > -30
Это всегда верно, значит, решение первого неравенства — вся числовая ось.
Второе неравенство:
Раскроем скобки:
2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x
2x + 16 — 3x — 6 < 5 — x
Соберем x в одной части, а числа — в другой:
2x — 3x + x < 5 — 16 + 6
0 < -5
Это неверно, значит, решений нет.
Общий ответ:
Решение первого неравенства — вся числовая ось, но второе неравенство не имеет решений.
Ответ: (-∞; +∞).
Алгебра
