ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 11.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1. x²(x+2) > 0;
2. x²(x+2) ≥ 0;
3. x²(x-2) ≥ 0;
4. x²(x-2) < 0;
5. x²(x+2) ≤ 0;
6. x²(x-2) ≤ 0.

1. Решаем x²(x+2) > 0. Ответ: (-2; 0) ∪ (0; +∞).
2. Решаем x²(x+2) ≥ 0. Ответ: [-2; +∞).
3. Решаем x²(x-2) ≥ 0. Ответ: {0} ∪ [2; +∞).
4. Решаем x²(x-2) < 0. Ответ: (-∞; 0) ∪ (0; 2).
5. Решаем x²(x+2) ≤ 0. Ответ: (-∞; -2] ∪ {0}.
6. Решаем x²(x-2) ≤ 0. Ответ: (-∞; 2].

1. x²(x+2) > 0

Разберем произведение:

• x² всегда неотрицательно, то есть x² > 0, если x ≠ 0.
• x+2 > 0, если x > -2.

Итак, произведение x²(x+2) будет положительным, если одновременно выполняются условия:

1. x ≠ 0 (иначе x² = 0);
2. x+2 > 0, то есть x > -2.

Объединяя эти условия, получаем:
x ∈ (-2; 0) ∪ (0; +∞).
Ответ: (-2; 0) ∪ (0; +∞).

2. x²(x+2) ≥ 0

Рассмотрим, когда произведение x²(x+2) неотрицательно:

• x² ≥ 0 всегда, так как это квадрат числа;
• x+2 ≥ 0, если x ≥ -2.

Произведение будет равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

1. x² = 0, то есть x = 0;
2. x+2 = 0, то есть x = -2.

Таким образом, x ∈ [-2; +∞).
Ответ: [-2; +∞).

3. x²(x-2) ≥ 0

Рассмотрим произведение:

• x² ≥ 0 всегда;
• x-2 ≥ 0, если x ≥ 2.

Произведение равно нулю, если x² = 0 (x = 0) или x-2 = 0 (x = 2).

Таким образом, объединяя условия, получаем:
x ∈ {0} ∪ [2; +∞).
Ответ: {0} ∪ [2; +∞).

4. x²(x-2) < 0

Произведение x²(x-2) отрицательно, если:

1. x² > 0 (x ≠ 0), так как x² не может быть отрицательным;
2. x-2 < 0, то есть x < 2.

Объединяя, получаем:
x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; 2).
Ответ: (-∞; 0) ∪ (0; 2).

5. x²(x+2) ≤ 0

Произведение x²(x+2) не превышает нуля, если:

1. x² = 0 (x = 0);
2. x+2 ≤ 0, то есть x ≤ -2.

Таким образом, объединяя условия, получаем:
x ∈ (-∞; -2] ∪ {0}.
Ответ: (-∞; -2] ∪ {0}.

6. x²(x-2) ≤ 0

Произведение x²(x-2) не превышает нуля, если:

1. x² = 0 (x = 0);
2. x-2 ≤ 0, то есть x ≤ 2.

Таким образом, объединяя условия, получаем:
x ∈ (-∞; 2].
Ответ: (-∞; 2].