Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 12.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что:
- |a + b| ≤ |a| + |b|;
- |a — b| ≥ |a| — |b|;
- |a + b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда ab ≥ 0;
- |a| + |b| = a + b тогда и только тогда, когда a ≥ 0 и b ≥ 0;
- |a — b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда ab ≤ 0.
- Доказываем, что |a + b| ≤ |a| + |b|.
Для всех случаев знаков a и b (положительные, отрицательные или разные знаки) выполняется указанное неравенство. - Доказываем, что |a — b| ≥ |a| — |b|.
Рассматриваем все возможные случаи знаков a и b. В каждом случае модуль разности больше или равен разности модулей. - Доказываем, что |a + b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда ab ≥ 0.
Если ab ≥ 0, то a и b имеют одинаковые знаки, поэтому сумма модулей равна модулю суммы. - Доказываем, что |a| + |b| = a + b тогда и только тогда, когда a ≥ 0 и b ≥ 0.
Если a и b неотрицательны, то их модули совпадают с самими числами, и сумма модулей равна сумме чисел. - Доказываем, что |a — b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда ab ≤ 0.
Если ab ≤ 0, то a и b имеют разные знаки, и модуль разности равен сумме модулей.
1. Докажем, что |a + b| ≤ |a| + |b|.
Рассмотрим все возможные случаи:
- Если a > 0 и b > 0, то |a| = a, |b| = b. Тогда |a + b| = a + b, а |a| + |b| = a + b. Неравенство выполняется.
- Если a < 0 и b > 0, то |a| = -a, |b| = b. Тогда |a + b| = |b + a| ≤ |b| + |a|.
- Если a > 0 и b < 0, то аналогично предыдущему случаю: |a + b| ≤ |a| + |b|.
- Если a < 0 и b < 0, то |a| = -a, |b| = -b. Тогда |a + b| = |-(a + b)| ≤ |a| + |b|.
Вывод: |a + b| ≤ |a| + |b|.
2. Докажем, что |a — b| ≥ |a| — |b|.
Рассмотрим все возможные случаи:
- Если a > 0 и b > 0, то |a| = a, |b| = b. Тогда |a — b| = |a — b|, а |a| — |b| = a — b. Неравенство выполняется.
- Если a < 0 и b > 0, то |a| = -a, |b| = b. Тогда |a — b| = |-(a + b)| ≥ |a| — |b|.
- Если a > 0 и b < 0, то |a| = a, |b| = -b. Тогда |a — b| = |a + b| ≥ |a| — |b|.
- Если a < 0 и b < 0, то |a| = -a, |b| = -b. Тогда |a — b| = |b — a| ≥ |a| — |b|.
Вывод: |a — b| ≥ |a| — |b|.
3. Докажем, что |a + b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда ab ≥ 0.
- Если ab ≥ 0, то a и b имеют одинаковые знаки. В этом случае |a + b| = |a| + |b|.
- Если ab < 0, то a и b имеют разные знаки. В этом случае |a + b| < |a| + |b|.
Вывод: |a + b| = |a| + |b| ⇔ ab ≥ 0.
4. Докажем, что |a| + |b| = a + b тогда и только тогда, когда a ≥ 0 и b ≥ 0.
- Если a ≥ 0 и b ≥ 0, то |a| = a и |b| = b. Поэтому |a| + |b| = a + b.
- Если хотя бы одно из чисел отрицательное, то |a| + |b| > a + b.
Вывод: |a| + |b| = a + b ⇔ a ≥ 0 и b ≥ 0.
5. Докажем, что |a — b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда ab ≤ 0.
- Если ab ≤ 0, то a и b имеют разные знаки. В этом случае |a — b| = |a| + |b|.
- Если ab > 0, то a и b имеют одинаковые знаки. В этом случае |a — b| < |a| + |b|.
Вывод: |a — b| = |a| + |b| ⇔ ab ≤ 0.
