ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 12.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенства:

1. |x + 5| < 2x + 3
2. |1 — 2x| ≤ x + 1
3. |4x + 5| > 3x — 1
4. |2x — 7| ≤ x — 2

1) Решаем |x + 5| < 2x + 3:

• Если x + 5 ≥ 0, то x + 5 < 2x + 3 → x > 2
• Если x + 5 < 0, то -(x + 5) < 2x + 3 → x > -8/3 (не подходит, так как x + 5 < 0, а для x > -8/3 это условие не выполняется)
  Ответ: (2; +∞)

2) Решаем |1 — 2x| ≤ x + 1:

• Если 1 — 2x ≥ 0, то 1 — 2x ≤ x + 1 → x ≥ 0
• Если 1 — 2x < 0, то -(1 — 2x) ≤ x + 1 → x ≤ 2
  Ответ: [0; 2]

3) Решаем |4x + 5| > 3x — 1:

• Если 4x + 5 ≥ 0, то 4x + 5 > 3x — 1 → x > -6
• Если 4x + 5 < 0, то -(4x + 5) > 3x — 1 → x < -4/7
  Ответ: (-∞; +∞)

4) Решаем |2x — 7| ≤ x — 2:

• Если 2x — 7 ≥ 0, то 2x — 7 ≤ x — 2 → x ≥ 5
• Если 2x — 7 < 0, то -(2x — 7) ≤ x — 2 → x ≤ 3
  Ответ: (-∞; 3] ∪ [5; +∞)

1) Решаем неравенство |x + 5| < 2x + 3
По определению модуля, |a| < b означает два случая:

• a < b, если b > 0
• -a < b, если b > 0

Здесь a = x + 5, b = 2x + 3.

Случай 1: x + 5 ≥ 0
Тогда x + 5 < 2x + 3. Переносим:
x — 2x < 3 — 5 → -x < -2 → x > 2.

Случай 2: x + 5 < 0
Тогда -(x + 5) < 2x + 3. Раскрываем скобки:
-x — 5 < 2x + 3. Переносим:
-x — 2x < 3 + 5 → -3x < 8 → x > -8/3.
Проверяем: при x > -8/3, x + 5 = -8/3 + 5 = 7/3 > 0 (условие не выполняется).

Ответ для первого неравенства: (2; +∞)

2) Решаем неравенство |1 — 2x| ≤ x + 1
По определению модуля, |a| ≤ b означает два случая:

• a ≤ b, если b ≥ 0
• -a ≤ b, если b ≥ 0

Здесь a = 1 — 2x, b = x + 1.

Случай 1: 1 — 2x ≥ 0
Тогда 1 — 2x ≤ x + 1. Переносим:
1 — x ≤ x → -3x ≤ 0 → x ≥ 0.

Случай 2: 1 — 2x < 0
Тогда -(1 — 2x) ≤ x + 1. Раскрываем скобки:
-1 + 2x ≤ x + 1. Переносим:
2x — x ≤ 1 + 1 → x ≤ 2.

Ответ для второго неравенства: [0; 2]

3) Решаем неравенство |4x + 5| > 3x — 1
По определению модуля, |a| > b означает два случая:

• a > b, если b ≥ 0
• -a > b, если b < 0

Здесь a = 4x + 5, b = 3x — 1.

Случай 1: 4x + 5 ≥ 0
Тогда 4x + 5 > 3x — 1. Переносим:
4x — 3x > -1 — 5 → x > -6.

Случай 2: 4x + 5 < 0
Тогда -(4x + 5) > 3x — 1. Раскрываем скобки:
-4x — 5 > 3x — 1. Переносим:
-4x — 3x > -1 + 5 → -7x > 4 → x < -4/7.

Ответ для третьего неравенства: (-∞; +∞)

4) Решаем неравенство |2x — 7| ≤ x — 2
По определению модуля, |a| ≤ b означает два случая:

• a ≤ b, если b ≥ 0
• -a ≤ b, если b ≥ 0

Здесь a = 2x — 7, b = x — 2.

Случай 1: 2x — 7 ≥ 0
Тогда 2x — 7 ≤ x — 2. Переносим:
2x — x ≤ -2 + 7 → x ≥ 5.

Случай 2: 2x — 7 < 0
Тогда -(2x — 7) ≤ x — 2. Раскрываем скобки:
-2x + 7 ≤ x — 2. Переносим:
-2x — x ≤ -2 — 7 → -3x ≤ -9 → x ≥ 3.

Ответ для четвертого неравенства: (-∞; 3] ∪ [5; +∞)