Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
Преимущества учебника:
- Понятное изложение теории
Авторы уделяют большое внимание теоретической части. Каждый новый параграф начинается с доступного объяснения темы, которое сопровождается примерами и иллюстрациями. Это помогает ученикам лучше понять материал, даже если тема кажется сложной на первый взгляд. - Разнообразие задач
Учебник предлагает широкий выбор заданий разного уровня сложности: от базовых упражнений для закрепления материала до задач повышенной трудности для углублённого изучения. Это делает пособие универсальным как для учеников с базовым уровнем подготовки, так и для тех, кто стремится к высоким результатам. - Практическая направленность
Многие задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что позволяет ученикам понять, как алгебра применяется на практике. Это не только делает обучение интересным, но и помогает развивать прикладное мышление. - Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные задания и тесты для самопроверки. Также в учебнике есть полезные таблицы и формулы, которые помогают систематизировать знания. - Поддержка учителей и родителей
Учебник удобен не только для учеников, но и для учителей, так как он содержит методические рекомендации по проведению уроков. Родители также могут использовать его для помощи своим детям в выполнении домашних заданий.
Учебник «Алгебра, 8 класс» Мерзляка и Полякова — это отличный инструмент для изучения математики, который сочетает в себе доступность, логичность и практическую направленность. Он помогает школьникам не только освоить алгебру, но и развить логическое мышление и умение решать задачи разного уровня сложности. Этот учебник по праву занимает лидирующие позиции среди пособий для 8-го класса.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 12.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Решите уравнение:
- |x — 2| + |x — 4| = 3
- |x — 2| — 3|3 — x| + x = 0
- |4 — x| + |2x — 2| = 5 — 2x
- |x| — 2|x + 1| = 5
- |x| + |3x + 2| + |2x — 1| = 5
- |x| + |x — 6| = 6
- |x + 2| — |x — 3| = 5
- |5x — 2| — |7x — 3| + 2x = 1
- |x — 2| / (|x — 1| — 1) = 1
- (|x — 3| + |x — 1| — 2) / (|x — 1| — |x| + 1) = 1
- Ответ: x = 1.5, x = 4.5
- Ответ: x = 2.2, x = 7
- Ответ: x = 1
- Ответ: решений нет
- Ответ: x = -1, x = 2/3
- Ответ: x ∈ [0; 6]
- Ответ: x ≥ 3 или x ∈ [3; +∞)
- Ответ: x ≥ 3/7 или x ∈ [3/7; +∞)
- Ответ: x ∈ (2; +∞)
- Ответ: x ∈ [0; 1)
1) |x — 2| + |x — 4| = 3
Разделим решение на три случая:
- Если x < 2, то |x — 2| = 2 — x и |x — 4| = 4 — x. Уравнение становится:
(2 — x) + (4 — x) = 3 → 6 — 2x = 3 → 2x = 3 → x = 1.5.
Условие x < 2 выполняется. - Если 2 ≤ x ≤ 4, то |x — 2| = x — 2 и |x — 4| = 4 — x. Уравнение становится:
(x — 2) + (4 — x) = 3 → 2 = 3. Решений нет. - Если x > 4, то |x — 2| = x — 2 и |x — 4| = x — 4. Уравнение становится:
(x — 2) + (x — 4) = 3 → 2x — 6 = 3 → 2x = 9 → x = 4.5.
Условие x > 4 выполняется.
Ответ: x = 1.5, x = 4.5
2) |x — 2| — 3|3 — x| + x = 0
Рассмотрим три случая:
- Если x < 2, то |x — 2| = 2 — x и |3 — x| = 3 — x. Уравнение становится:
(2 — x) — 3(3 — x) + x = 0 → 2 — x — 9 + 3x + x = 0 → 3x — 7 = 0 → x = 2.33.
Условие x < 2 не выполняется. Решений нет. - Если 2 ≤ x ≤ 3, то |x — 2| = x — 2 и |3 — x| = 3 — x. Уравнение становится:
(x — 2) — 3(3 — x) + x = 0 → x — 2 — 9 + 3x + x = 0 → 5x — 11 = 0 → x = 2.2.
Условие 2 ≤ x ≤ 3 выполняется. - Если x > 3, то |x — 2| = x — 2 и |3 — x| = x — 3. Уравнение становится:
(x — 2) — 3(x — 3) + x = 0 → x — 2 — 3x + 9 + x = 0 → -x + 7 = 0 → x = 7.
Условие x > 3 выполняется.
Ответ: x = 2.2, x = 7
3) |4 — x| + |2x — 2| = 5 — 2x
Рассмотрим три случая:
- Если x < 1, то |4 — x| = 4 — x и |2x — 2| = 2 — 2x. Уравнение становится:
(4 — x) + (2 — 2x) = 5 — 2x → 6 — 3x = 5 — 2x → -x = -1 → x = 1.
Условие x < 1 не выполняется. Решений нет. - Если 1 ≤ x ≤ 2, то |4 — x| = 4 — x и |2x — 2| = 2x — 2. Уравнение становится:
(4 — x) + (2x — 2) = 5 — 2x → 2x — x + 2 = 5 — 2x → 3x = 3 → x = 1.
Условие 1 ≤ x ≤ 2 выполняется. - Если x > 2, то |4 — x| = x — 4 и |2x — 2| = 2x — 2. Уравнение становится:
(x — 4) + (2x — 2) = 5 — 2x → 3x — 6 = 5 — 2x → 5x = 11 → x = 2.2.
Условие x > 2 не выполняется. Решений нет.
Ответ: x = 1
4) |x| — 2|x + 1| = 5
Рассмотрим три случая:
- Если x < -1, то |x| = -x и |x + 1| = -(x + 1). Уравнение становится:
-x — 2(-(x + 1)) = 5 → -x + 2x + 2 = 5 → x = 3.
Условие x < -1 не выполняется. Решений нет. - Если -1 ≤ x ≤ 0, то |x| = -x и |x + 1| = x + 1. Уравнение становится:
-x — 2(x + 1) = 5 → -x — 2x — 2 = 5 → -3x = 7 → x = -7/3.
Условие -1 ≤ x ≤ 0 не выполняется. Решений нет. - Если x > 0, то |x| = x и |x + 1| = x + 1. Уравнение становится:
x — 2(x + 1) = 5 → x — 2x — 2 = 5 → -x — 2 = 5 → -x = 7 → x = -7.
Условие x > 0 не выполняется. Решений нет.
Ответ: решений нет
5) |x| + |3x + 2| + |2x — 1| = 5
Рассмотрим несколько случаев:
Случай 1: x < -2/3
В этом случае:
- |x| = -x
- |3x + 2| = -(3x + 2)
- |2x — 1| = -(2x — 1)
Уравнение становится:
-x — (3x + 2) — (2x — 1) = 5
-6x — 1 = 5
-6x = 6
x = -1
Условие x < -2/3 выполняется. Значит, x = -1 — решение.
Случай 2: -2/3 ≤ x < 1/2
В этом случае:
- |x| = -x
- |3x + 2| = 3x + 2
- |2x — 1| = -(2x — 1)
Уравнение становится:
-x + (3x + 2) — (2x — 1) = 5
-x + 3x + 2 — 2x + 1 = 5
0x + 3 = 5
Это противоречие. Решений нет.
Случай 3: x ≥ 1/2
В этом случае:
- |x| = x
- |3x + 2| = 3x + 2
- |2x — 1| = 2x — 1
Уравнение становится:
x + (3x + 2) + (2x — 1) = 5
x + 3x + 2 + 2x — 1 = 5
6x + 1 = 5
6x = 4
x = 2/3
Условие x ≥ 1/2 выполняется. Значит, x = 2/3 — решение.
Ответ: x = -1, x = 2/3
6) |x| + |x — 6| = 6
Рассмотрим три случая:
- Если x < 0, то |x| = -x и |x — 6| = -(x — 6). Уравнение становится:
-x — (x — 6) = 6 → -x — x + 6 = 6 → -2x = 0 → x = 0.
Условие x < 0 не выполняется. Решений нет. - Если 0 ≤ x ≤ 6, то |x| = x и |x — 6| = 6 — x. Уравнение становится:
x + (6 — x) = 6 → 6 = 6.
Это тождество, значит, любое значение x из промежутка [0; 6] является решением. - Если x > 6, то |x| = x и |x — 6| = x — 6. Уравнение становится:
x + (x — 6) = 6 → 2x — 6 = 6 → 2x = 12 → x = 6.
Условие x > 6 не выполняется. Решений нет.
Ответ: x ∈ [0; 6]
7) |x + 2| — |x — 3| = 5
Рассмотрим три случая:
- Если x < -2, то |x + 2| = -(x + 2) и |x — 3| = -(x — 3). Уравнение становится:
-(x + 2) — (-(x — 3)) = 5 → -x — 2 + x — 3 = 5 → -5 = 5.
Противоречие. Решений нет. - Если -2 ≤ x ≤ 3, то |x + 2| = x + 2 и |x — 3| = -(x — 3). Уравнение становится:
(x + 2) — (-(x — 3)) = 5 → x + 2 + x — 3 = 5 → 2x — 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3.
Условие -2 ≤ x ≤ 3 выполняется. - Если x > 3, то |x + 2| = x + 2 и |x — 3| = x — 3. Уравнение становится:
(x + 2) — (x — 3) = 5 → x + 2 — x + 3 = 5 → 5 = 5.
Это тождество, значит, любое значение x из промежутка (3; +∞) является решением.
Ответ: x ≥ 3 или x ∈ [3; +∞)
8) |5x — 2| — |7x — 3| + 2x = 1
Рассмотрим три случая:
- Если x < 2/5, то |5x — 2| = -(5x — 2) и |7x — 3| = -(7x — 3). Уравнение становится:
-(5x — 2) — (-(7x — 3)) + 2x = 1 → -5x + 2 + 7x — 3 + 2x = 1 → 4x — 1 = 1 → 4x = 2 → x = 1/2.
Условие x < 2/5 не выполняется. Решений нет. - Если 2/5 ≤ x ≤ 3/7, то |5x — 2| = 5x — 2 и |7x — 3| = -(7x — 3). Уравнение становится:
(5x — 2) — (-(7x — 3)) + 2x = 1 → 5x — 2 + 7x — 3 + 2x = 1 → 14x — 5 = 1 → 14x = 6 → x = 3/7.
Условие 2/5 ≤ x ≤ 3/7 выполняется. - Если x > 3/7, то |5x — 2| = 5x — 2 и |7x — 3| = 7x — 3. Уравнение становится:
(5x — 2) — (7x — 3) + 2x = 1 → 5x — 2 — 7x + 3 + 2x = 1 → 0x + 1 = 1.
Это тождество, значит, любое значение x из промежутка (3/7; +∞) является решением.
Ответ: x ≥ 3/7 или x ∈ [3/7; +∞)
9) |x — 2| / (|x — 1| — 1) = 1
Обозначим знаменатель |x — 1| — 1 и рассмотрим его случаи:
- Если |x — 1| — 1 = 0, то |x — 1| = 1, откуда x = 2 или x = 0. Эти значения делают знаменатель равным нулю, поэтому они не подходят.
- Если x < 0, то |x — 2| = 2 — x и |x — 1| = 1 — x. Уравнение становится:
(2 — x) / ((1 — x) — 1) = 1 → (2 — x) / -x = 1 → 2 — x = -x → x = 2.
Условие x < 0 не выполняется. Решений нет. - Если 0 < x < 1, то |x — 2| = 2 — x и |x — 1| = 1 — x. Уравнение становится:
(2 — x) / ((1 — x) — 1) = 1 → (2 — x) / -x = 1 → 2 — x = -x → x = 3.
Условие 0 < x < 1 не выполняется. Решений нет. - Если 1 ≤ x < 2, то |x — 2| = 2 — x и |x — 1| = x — 1. Уравнение становится:
(2 — x) / ((x — 1) — 1) = 1 → (2 — x) / (x — 2) = 1.
Это тождество, но знаменатель равен нулю. Решений нет. - Если x > 2, то |x — 2| = x — 2 и |x — 1| = x — 1. Уравнение становится:
(x — 2) / ((x — 1) — 1) = 1 → (x — 2) / (x — 2) = 1.
Это тождество, значит, любое значение x из промежутка (2; +∞) является решением.
Ответ: x ∈ (2; +∞)
10) (|x — 3| + |x — 1| — 2) / (|x — 1| — |x| + 1) = 1
1. Случай x < 0:
В этом случае:
- |x — 3| = 3 — x
- |x — 1| = 1 — x
- |x| = -x
Знаменатель становится: |x — 1| — |x| + 1 = (1 — x) — (-x) + 1 = 1 — x + x + 1 = 2 (не равен нулю).
Числитель: |x — 3| + |x — 1| — 2 = (3 — x) + (1 — x) — 2 = 4 — 2x — 2 = 2 — 2x.
Подставим в уравнение: (2 — 2x) / 2 = 1
2 — 2x = 2
-2x = 0
x = 0.
Но x < 0, поэтому решений в этом случае нет.
2. Случай 0 ≤ x ≤ 1:
В этом случае:
- |x — 3| = 3 — x
- |x — 1| = 1 — x
- |x| = x
Знаменатель становится: |x — 1| — |x| + 1 = (1 — x) — x + 1 = 2 — 2x (не равен нулю, так как 0 ≤ x ≤ 1).
Числитель: |x — 3| + |x — 1| — 2 = (3 — x) + (1 — x) — 2 = 4 — 2x — 2 = 2 — 2x.
Подставим в уравнение: (2 — 2x) / (2 — 2x) = 1.
Равенство выполняется для всех x из промежутка 0 ≤ x < 1.
3. Случай x > 1:
В этом случае:
- |x — 3| = x — 3
- |x — 1| = x — 1
- |x| = x
Знаменатель становится: |x — 1| — |x| + 1 = (x — 1) — x + 1 = 0.
Так как знаменатель равен нулю, деление невозможно. Решений в этом случае нет.
Вывод:
Единственный промежуток, где уравнение имеет решения, это 0 ≤ x < 1. Следовательно, ответ: [0; 1).
Алгебра
