Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Множество A содержит 100 элементов. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих четное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечетное количество элементов.
- Пусть B — подмножество множества A, содержащее четное количество элементов.
- Для каждого такого B определим множество C = A \ B, которое содержит нечетное количество элементов.
- Так как в A четное число элементов, то каждому подмножеству B с четным числом элементов соответствует ровно одно подмножество C с нечетным числом элементов.
- Все подмножества множества A разбиваются на пары (B, C), где одно из них содержит четное число элементов, а другое — нечетное.
- Следовательно, количество подмножеств с четным числом элементов равно количеству подмножеств с нечетным числом элементов.
1. Условие задачи:
Множество A содержит 100 элементов. Всего у множества A существует 2¹⁰⁰ подмножеств (включая пустое множество). Среди них нужно доказать, что количество подмножеств, содержащих четное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечетное количество элементов.
2. Построение соответствия:
Пусть B — подмножество множества A, содержащее четное количество элементов. Рассмотрим множество C = A \ B, то есть множество всех элементов A, которые не входят в B.
- Если B содержит четное число элементов, то C содержит нечетное число элементов, так как общее количество элементов в A равно 100 (четное число).
- Аналогично, если B содержит нечетное число элементов, то C содержит четное число элементов.
3. Разбиение на пары:
Каждому подмножеству B с четным числом элементов можно поставить в соответствие подмножество C с нечетным числом элементов, и наоборот. Это соответствие взаимно однозначное, так как:
- Для каждого B существует ровно одно C = A \ B.
- Для каждого C существует ровно одно B = A \ C.
4. Общий принцип:
Все подмножества множества A разбиваются на пары (B, C), где одно подмножество содержит четное число элементов, а другое — нечетное. Поскольку таких пар ровно половина от общего числа подмножеств, то количество подмножеств, содержащих четное число элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечетное число элементов.
5. Вывод:
Количество подмножеств множества A, содержащих четное число элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечетное число элементов.
Ответ: количество подмножеств, содержащих четное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечетное количество элементов.
