Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В олимпиаде приняли участие 46 учащихся. Им было предложено 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что:
- первую и вторую задачи решили 11 учащихся,
- вторую и третью задачи решили 8 учащихся,
- первую и третью задачи решили 5 учащихся,
- все три задачи решили только 2 учащихся.
Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.
- Используем формулу для объединения множеств:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) — n(A ∩ B) — n(B ∩ C) — n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). - Подставляем известные значения:
46 = n(A) + n(B) + n(C) — 11 — 8 — 5 + 2.
Отсюда n(A) + n(B) + n(C) = 68. - Если предположить, что каждое из чисел n(A), n(B), n(C) не превосходит 23, то их сумма будет не более 23 + 23 + 23 = 69, что противоречит нашему результату.
- Следовательно, хотя бы одно из чисел n(A), n(B), n(C) должно быть не менее 24.
- Так как всего участников 46, это значит, что хотя бы одну задачу решили не менее половины участников.
1. Условие задачи:
В олимпиаде участвовали 46 учащихся, каждый из которых решил хотя бы одну задачу. Пусть:
- A — множество учащихся, решивших первую задачу,
- B — множество учащихся, решивших вторую задачу,
- C — множество учащихся, решивших третью задачу.
Даны следующие данные:
- n(A ∩ B) = 11,
- n(B ∩ C) = 8,
- n(A ∩ C) = 5,
- n(A ∩ B ∩ C) = 2,
- n(A ∪ B ∪ C) = 46.
Нужно доказать, что хотя бы одну задачу решили не менее половины участников, то есть не менее 24 человек.
2. Формула для объединения множеств:
Используем формулу:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) — n(A ∩ B) — n(B ∩ C) — n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).
3. Подставляем данные:
n(A ∪ B ∪ C) = 46,
n(A ∩ B) = 11,
n(B ∩ C) = 8,
n(A ∩ C) = 5,
n(A ∩ B ∩ C) = 2.
Подставляем в формулу:
46 = n(A) + n(B) + n(C) — 11 — 8 — 5 + 2.
Приводим подобные:
n(A) + n(B) + n(C) = 46 + 11 + 8 + 5 — 2 = 68.
4. Проверка предположения:
Предположим, что каждое из чисел n(A), n(B), n(C) не превосходит 23. Тогда их сумма будет не более:
23 + 23 + 23 = 69.
Однако из наших расчетов следует, что n(A) + n(B) + n(C) = 68. Это означает, что хотя бы одно из чисел n(A), n(B), n(C) должно быть не менее 24.
5. Вывод:
Так как всего участников 46, то хотя бы одну задачу решили не менее половины участников (24 человека).
Ответ: одну из задач решили не менее половины участников.
