ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На окружности отметили 100 точек: A₁, A₂, …, A₁₀₀. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, в которых точка A₁ является вершиной, или тех, в которых точка A₁ не является вершиной?

1. Рассмотрим n-угольники, где n ≥ 4, с вершинами в отмеченных точках.
2. Количество всех n-угольников с вершинами в отмеченных точках равно числу сочетаний из 100 по n: C(100, n).
3. Количество n-угольников, содержащих вершину A₁, равно числу сочетаний из оставшихся 99 точек по (n — 1): C(99, n — 1).
4. Количество n-угольников, не содержащих вершину A₁, равно C(99, n).
5. Так как C(99, n — 1) > C(99, n) для всех n ≥ 4, то больше многоугольников, в которых точка A₁ является вершиной.

Пусть на окружности отмечено 100 точек: A₁, A₂, …, A₁₀₀. Рассмотрим n-угольники (n ≥ 4), вершины которых расположены в этих точках.
Общее количество таких n-угольников равно числу сочетаний из 100 по n:
С(100, n) = 100! / (n!(100 — n)!)

Разделим все n-угольники на две группы:

• n-угольники, содержащие вершину A₁.
• n-угольники, не содержащие вершину A₁.

Рассмотрим первую группу: n-угольники, содержащие вершину A₁. Если точка A₁ уже выбрана как одна из вершин, то остальные (n — 1) вершин должны быть выбраны из оставшихся 99 точек. Таким образом, количество таких n-угольников равно:
С(99, n — 1) = 99! / ((n — 1)!(99 — (n — 1))!)

Рассмотрим вторую группу: n-угольники, не содержащие вершину A₁. В этом случае все n вершин выбираются из оставшихся 99 точек. Количество таких n-угольников равно:
С(99, n) = 99! / (n!(99 — n)!)

Сравним количество n-угольников в обеих группах. Для этого сравним С(99, n — 1) и С(99, n). Из свойств биномиальных коэффициентов известно, что:
С(99, n — 1) > С(99, n) для всех n ≥ 4.

Таким образом, количество n-угольников, содержащих вершину A₁, больше, чем количество n-угольников, не содержащих вершину A₁.

Ответ: больше тех многоугольников, в которых точка A₁ является вершиной.